Методы, основанные на использовании монотонности функции:

 Задача 1. 

Решить уравнение:  х6  - |7x – 8|3 = 25cos(x2 ) - 25cos(7х-8) 

Решение:  х6  - |7x – 8|3 = 25cos(x2 ) - 25cos(7х-8)   

|7x – 8|3 - 25cos(7х-8) =  25cos(x2 ) - x2

Введем функцию: f(х) = |t|3 – 25t

f(х)= f(х)

Найдем производную:

f(х) = 3t2 – 25

уравнение сведется к двум уравнениям:

        x2  = ± (7х-8)

          х2 +7х -8 = 0                                      х2 +7х + 8 = 0                                      

        х1 = -8, х2 = 1

х1 = = ,       х2 =                                 

 Ответ: х= -8, х= 1, х= ,  х=      

Задача 2.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет одно решение   х10 + 3х6 = (6х - а)5  + 3(6х - а)6

Решение:  Используем функциональные уравнения:

(х2)5  + 3(х2)3 = (6х - а)5  + 3(6х - а)6,   х2 – аргумент функции,

Вводим функцию f(х) = х5  + 3х3

Рассмотрим как сумму двух функций:

Левая часть f(х) = х5  + 3х3

f(х2) = f(6х-а)

х2 = 6х - а

х2 - 6х + а = 0,  а  9, т.е. а ()

Ответ:  ()

Задание 3.

 Решить неравенство методом рационализации:

                log_(х+3)⁡〖(х^2+1)/(1-х^2 )〗  >0

 Решение:  По свойству логарифмов получим:       

 log_(х+3) (〗⁡〖х^2+1〗)- log_(х+3)⁡〖(1-х^(2   ))〗

тогда, используя метод рационализации, имеем:

{((х + 3 - 1)( х^2+1-1+х^(2   )) >0, х + 3 >0, 1-х^2>0)┤⇔ {(2х^2 (х+2)>0,      х + 3 >0 1-х^2>0)┤

{█(х∈(-2;0)∪(0;∞)@(-3;∞)@(-1;1))┤                   

Ответ: (-1;0) ∪(0;1)

 Задача 4.

 Метод масс

Задача 1

На сторонах ВС и СА треугольника АВС взяты точки К и L так, что

BK:KC=2: 3 , AL:LC= 7: 5. Пусть точка О – точка пересечения отрезков АК и BL. Найти в каком отношении точка О делит эти отрезки.

 Решение: 

Прямая   AK  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВLС.

По теореме Менелая:   BO/OL  • AL/AC   • CK/KB  = 1, т.е.

  BO/OL • 7/12 • 3/2 = 1  ⇒    BO/OL • 7/8 = 1 ⇒  BO/OL = 8/7 

Прямая   BL  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника AKС.

По теореме Менелая:   AL/LC • CB/BK • KO/AO  =  1, т.е.

   7/5 • 5/2 • KO/AO=1  ⇒   7/2 • KO/AO = 1 ⇒  AO/KO = 7/2

      Ответ:  АО:ОK=7: 2 , ВО:ОL= 8: 7.

 Задача 2

В треугольнике АВС на сторонах AВ, BС и АC выбраны соответственно

точки М , N и K соответственно, делящие их в отношениях AM:MВ=2:3,

АK:KC=2:1 и ВN:NC=1:2. Отрезки АN и KM пересекаются в точке О.

Найдите, в каком отношении точка О делит отрезок АN.

  Решение: 

 Рассмотрим следующий рисунок:

 Прямая   MD  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВAN:

По теореме Менелая:  BM/MA • AO/ON • ND/BD=1     ⇒      3/2 • AO/ON • ND/BD=1,   

 Введем обозначение:  CD = х, тогда имеем:

 3/2 • AO/ON • ((2+х))/((3+х)) =1  ⇒  

(AO )/ON= (2(3+х))/(3(2+х))   (⋆)

Прямая   MD  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВAC:

По теореме Менелая:    BM/MA • AK/KC • CD/BD=1     ⇒    

 3/2 • 2/1 • CD/BD=1,   

 Учитывая введенное  обозначение  CD = х, получим:

   3х/((3+х))=1     х= 1,5= СD, подставляя  в равенство (⋆) , имеем:

 AO/ON = (2(3+1.5))/(3(2+1,5))   ⇒  AO/ON=6/7 .

Ответ:  АО:ОN=6: 7       

Задание 5.

Задача 1

Решить уравнение:

log_2〖(16у^2-8у+33)=√(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )〗

Решение:  Оценим левую и правую части уравнения:

log_2〖(16у^2-8у+33)≥5,т.к.〗  16у^2-8у+33≥32, а log_2〖32=5〗

√(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )  ≤5,  т.к. √(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )=√(25-〖(х^2-2у)〗^2 ), 

25-〖(х^2-2у)〗^2  ≥0,т.е.〖(х^2-2у)〗^2≤25, то √(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )  ≤5

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

{(log_2⁡〖(16у^2-8у+33)=5〗@√(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )=5)┤

        Первое уравнение системы имеет только один корень у= 1/4. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство при х=± 1/√2, т.е. √(25-〖(х^2-2у)〗^2 ) = 5, х^2-2у=0 при  у= 1/4, получаем: х=± 1/√2

Ответ:  х=± 1/√2; у= 1/4

Задача 3 

Решить уравнение   lg (136 -12у + у^2) = 2- |3х + у|

Решение:  Оценим левую и правую части уравнения:

lg (136 -12у + у^2) ≥ 2, т.к. 136 -12у + у^2 ≥ 100, а lg100=2

2- |3х + у| ≤ 2

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

{█(lg (136 -12у + у^2 )=2@2- |3х + у|=2)┤

Первое уравнение системы имеет только один корень у= 6, по определению логарифма имеем:  136 -12у + у^2=100 . Подставляя это значение у=6 во второе уравнение получаем: |3х + у|=0,отсюда  х= -2.

Ответ:  х= -2,  у= 6.

Решение: