Обязательный государственный экзамен (ОГЭ), 9 класс

По окончанию 9-го класса все учащиеся сдают обязательный экзамен по математике в форме Государственной итоговой аттестации. Подготовка к такому достаточно серьезному испытанию должна проводиться на протяжении многих лет. Этот экзамен проверяет знания, умения и навыки работы учащихся с различными математическими объектами, с которыми они познакомились в течение девятилетнего курса математики. Поэтому актуальность этой темы безусловна.

Из года в год девятиклассники сдают ГИА, и перед учителем стоит задача максимально подготовить их к экзамену, предлагая на каждом этапе обучения систему задач и упражнений для оптимального усвоения материала.  ГИА предполагает вопросы и задания из различных тем курса «Алгебра» и «Геометрия» основной школы, поэтому целесообразно при изучении конкретного раздела обращать внимание учащихся на те типы заданий, которые могут встретится им в итоговой аттестации.

Классификацию задач ГИА можно проводить различными способами. Наиболее оптимальный, на мой взгляд, провести распределение задач по их порядковому номеру в работе ГИА, ориентируясь на кодификатор и демоверсию 2014 года, и проанализировать, на каком этапе обучения в основной школе мы можем обратить внимание учащихся на данный тип заданий.

Содержание:

§1.1. Общая структура ОГЭ.. 3

§1.2. Первая часть ОГЭ.. 4

Модуль «Алгебра». 4

Задание №1. 4

Задание №2. 5

Задание №3. 7

Задание №4. 8

Задание №5. 10

Задание №6. 12

Задание №7. 14

Задание №8. 15

Модуль «Геометрия». 18

Задание №9. 18

Задание №10. 19

Задание №11. 21

Задание №12. 23

Задание №13. 24

Модуль «Реальная математика». 26

Задание №14. 26

Задание №15. 28

Задание №16. 30

Задание №17. 31

Задание №18. 33

Задание №19. 35

Задание №20. 37

Общие выводы по первой части. 38

§1.3. Вторая часть ОГЭ.. 39

Модуль «Алгебра». 39

Задание №21. 39

Задание №22. 40

Задание №23. 41

Модуль «Геометрия». 43

Задание № 24. 43

Задание №25. 44

Задание №26. 46

Общие выводы по второй части. 47

Использованные материалы.. 48

 

§1.1. Общая структура ОГЭ

Прежде чем приступить к самой классификации и рассмотрению конкретных задач, посмотрим на общую структуру ОГЭ.

Итак, экзаменационная работа по математике за курс основной школы проводится на территории РФ в порядке эксперимента. Начиная с 2004 года сама работа претерпела ряд изменений. Было изменено количество заданий, их сложность, балльная стоимость. По последним данным кодификатора и демонстрационного варианта 2015 года работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Для получения положительной оценки необходимо не только набрать некоторое минимальное количество баллов за всю работу, но и получить определенный балл по каждому модулю.

Согласно спецификации экзаменационная работа состоит из двух частей:

1.     Первая часть предполагает выполнение тестовых заданий, при этом ответы фиксируются учениками непосредственно на бланке теста. В первую часть входят задания с выбором ответа, кратким ответом и установлением соответствия.

2.     Вторая часть имеет вид традиционной контрольной работы и состоит из 6 заданий, в которых в соответствии со спецификацией представлены следующие разделы программного материала: выражения и их преобразования, уравнения и системы уравнений, текстовые задачи, неравенства, функции, координаты и графики, последовательности и прогрессии, планиметрия. При выполнении второй части работы учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записывать решение (оно должно включать необходимые пояснения и обоснования, из которых должен быть понятен ход рассуждений). Вторая часть присутствует только в модулях «Алгебра» и «Геометрия».

Далее перейдем к самой классификации. Я разделила задания на 2 группы: те, что встречаются в первой части работы и предполагают тестовую форму, и те, что встречаются во второй части работы, где предусматривается запись полного и обоснованного решения.

§1.2. Первая часть ОГЭ

Модуль «Алгебра»

Задание №1

Первое задание экзаменационной работы проверяет умение учащихся выполнять вычисления и преобразования. В этом задании от учащихся требуется знание арифметических действий над натуральными числами, дробями, действительными числами, понятие степени с натуральным показателем, решение вычислительных задач, умение сравнивать числа, что учащиеся изучают в программе 5-6 классов. Поэтому такое задание посильно даже младшим учащимся средней ступени.

Приведем конкретные примеры заданий, которые встречаются в ОГЭ прошлых лет и в КИМах 2014 года.

Примеры заданий:

1.     Найдите значение выражения 

 Решение.

Вынесем общий множитель за скобки: .

Ответ: -3.

2.    Найдите значение выражения  

Решение.

Ответ: 2,1.

3.     Найдите значение выражения  

Решение.

Ответ: -810.

4.     Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

 

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Упростим заданные числовые выражения:

1)   

2)   

3)   

4)   

Очевидно, что выбирать нужно из второго или третьего варианта. Приведем полученные в них дроби к общему знаменателю. Получим:

Следовательно, правильным является ответ под номером 3.

Задание №2

Второе задание экзаменационной работы проверяет умения учащихся работать с числами и величинами, изображать числа точками на координатной прямой, требует знания геометрического смысла модуля и числовых промежутков. Эти навыки и умения формируются у учащихся практически на протяжении всего курса изучения математики и алгебры, поэтому для выпускников 8-го класса данное задание можно считать посильным. Приведем конкретные примеры заданий.

Примеры заданий:

1.     На координатной прямой отмечены числа  и :

 

Какое из следующих утверждений неверно?

1.    

2.    

3.    

4.    

Решение. Заметим, что  и  Проверим все варианты ответа:

1)    - верно,

2)    - неверно,

3)    - верно,

4)    - верно. 

Правильный ответ указан под номером 2.

2.     Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  . Какая это точка?

 

1) точка А 
 

2) точка В

3) точка С 

4) точка

Решение. Возведём в квадрат числа  , 8, 9, 10: 

Число 77 лежит между числами 64 и 81 и находится ближе к числу 81, поэтому    соответствует точке B. 

Правильный ответ указан под номером 2.

3. Известно, что . Какое из указанных утверждений неверно?

1) 
2) 
3) 
4) 

Решение. Рассмотрим все варианты ответа:

1)     — верно, поскольку 

2)   — верно,

3)  — неверно,

4)  — верно. 

Правильный ответ указан под номером 3.

Задание №3

Третье задание экзаменационной работы помимо умений выполнять вычисления и преобразования, также проверяет умение выполнять преобразования алгебраических выражений. Для успешного выполнения данного задания учащимся необходимо понимать, что подразумевается под буквенным выражением и его числовым значением, что такое допустимые значения переменных, уметь преобразовывать выражения с помощью формул сокращенного умножения, работать с многочленами, степенями с целым показателем, квадратными корнями. К концу 8-го класса у учащихся набирается необходимый багаж знаний и умений для решения заданий данного типа.

Примеры заданий:

1.     Значение какого из выражений является числом рациональным?

1) 
2) 
3) 
4) 

Решение. Упростим каждое выражение.

1) 

2) .

3) .

4) .

 Рациональным является значение первого выражения.

2. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь   ?

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Упростим дробь:

Правильный ответ указан под номером 4.

3. Сравните числа   и 16.

1) 
2) 
3) 

Решение. В силу цепочки неравенств первое число меньше второго. 

Правильный ответ указан под номером 1.

Задание №4

Умение решать уравнения, неравенства и их системы проверяется в четвертом задании экзаменационной работы. От учащихся требуются навыки решения линейных, рациональных, квадратных уравнений, уравнений высших степеней, а также умения решать линейные и квадратные неравенства, их системы. Решение различных уравнений и неравенств проходится в конце 8-го класса, а также в первом полугодии 9-го класса эти знания обобщаются и систематизируются.

Примеры заданий:

1.     Найдите корни уравнения  .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения: 

 Ответ: −7; 0.

2.     Решите систему уравнений

  

Решение. Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему методом подстановки: 

 

Ответ: 

3.     Решите уравнение  

Решение. Умножим левую и правую часть уравнения на 4, получаем:  

 Ответ: −20.

Задание №5

         В пятом задании экзаменационной работы проверяется умение учащихся работать с графиками функций. Для этого нужно понимать, что такое функция, область определения функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Учащиеся должны знать, как выглядит график линейной функции, обратной пропорциональной зависимости, квадратичной функции, , а также уметь использовать эти графики для решения уравнений и систем. Всё это посильно для восьмиклассников.

Примеры заданий:

1.     Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) 

2) 

3) 

4) 

 Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

А

Б

В

 

 

 

 

Решение. Определим вид графика каждой из функций.

1)     - уравнение гиперболы,

2)   -  уравнение прямой,

3)   - уравнение параболы с вертикальным расположением веток,

4)  - уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

Тем самым найдено соответствие: A — 2, Б — 4, В — 3. 

Ответ: 243.

2.     Найдите значение aпо графику функции , изображенному на рисунке. 

 

Решение. Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 1, поэтому с=1. Тем самым, уравнение параболы принимает вид  Парабола проходит через точки (1; 3) и (−2; 3). Отсюда имеем: 

Ответ: a=1.

3.     На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов kи b. 

ГРАФИКИ 

 КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

2) 

3) 

4) 

 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

А

Б

В

 

 

 

Решение. Если значение функции возрастает с увеличением x, то коэффициент k положителен, если убывает — отрицателен. Значение b соответствует значению функции в точке x = 0, следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение b положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно. Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А — 2, Б — 1, В — 4.

 Ответ: 214.

Задание №6

Шестое задание экзаменационной работы посвящено числовым последовательностям, в частности арифметической и геометрической прогрессиям. С числовыми последовательностями дети знакомятся еще в начальной школе, но на этом их внимание не акцентируется. В 9 классе учащиеся изучают понятие последовательности, учатся работать с прогрессиями, выводят основные формулы и отрабатывают их на конкретных примерах. При успешном изучении этой темы, трудностей с решением этого задания экзаменационной работы быть не должно.

Примеры заданий:

1.     Геометрическая прогрессия  задана условиями:. Найдите  .

Решение. Определим знаменатель геометрической прогрессии:. Член геометрической прогрессии с номером kможет быть найден по формуле. Конкретно в нашей задаче имеем: .

Ответ: 256.

2.     Дана арифметическая прогрессия Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение. Определим разность арифметической прогрессии: .  Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле  . Применимо к нашему случаю:  .

Ответ: 75.

3.     Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности? 

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с n=2: 

 Тем самым, число  не членом этой последовательности. 

Ответ: 3.

Задание №7

         Умение преобразовывать алгебраические выражения проверятся в седьмом задании экзаменационной работы. Учащиеся должны владеть приемами работы с буквенными выражениями, многочленами и алгебраическими дробями, что отрабатывается на протяжении всего курса изучения математики, но в основном в 7-8 классах.

Примеры заданий:

1.     Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение. Упростим выражение: . Найдём значение выражения при  : .

Ответ: 8.

2.     Найдите значение выражения  при

Решение. Упростим выражение: . При  имеем .

Ответ: 1.

3.     Сократите дробь  .

Решение. Сократим дробь: 

Ответ: 60.

Задание №8

Задание №8 экзаменационной работы посвящено решению неравенств. Данное задание проверяет, усвоили ли учащиеся приемы решения линейных, квадратных и рациональных неравенств, и могут ли они интерпретировать результаты своего решения. Большая доля изучения этой темы приходится на конец 8-го класса, а также на начало 9-го класса, где знания систематизируются и обобщаются.

Примеры заданий:

1.     Решите систему неравенств 

На каком рисунке изображено множество её решений?

1) 
2) 
3) 
4) 

 

Решение. Решим систему неравенств: 

 Решение неравенства изображено под номером 2.

2. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

1) 
2) 
3) 
4) 

Решение. Решим неравенство:   . Корнями уравнения  являются числа 1 и 3. Поэтому 

Множество решений неравенства изображено на рис. 1. Правильный ответ указан под номером 1.

3. На каком рисунке изображено множество решений неравенства

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение. Решим неравенство:

 Множество решений неравенства изображено на рис. 4. Правильный ответ указан под номером 4.

 

Модуль «Геометрия»

Задание №9

Девятое задание – первое, которое открывает новый раздел «Геометрия». В данном задании учащимся предлагает найти градусные меры углов в различных фигурах или использовать их для вычисления сторон различных фигур. Можно сказать, что решение данного типа задач нельзя отнести конкретно к какому-либо классу, потому что находить градусные меры углов дети учатся и в 7, и в 8, классе, опираясь на разные определения, свойства и теоремы.

Ученикам 7-го класса будут посильны задания вот такого типа:

 1. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол  . Ответ дайте в градусах.

Решение. Углы 1 и 2 равны как вертикальные, поэтому

 

 Ответ: 40.

 

 

2. В равностороннем треугольнике ABС биссектрисы СN и AM пересекаются в точке P. Найдите .

Решение.  В равностороннем треугольнике ABС все углы равны 60°. Биссектрисы СN и AM делят углы пополам, поэтому  =  =  

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому  Вертикальные углы равны, следовательно, 

 

Ответ: 120.

В 8-ом классе учащиеся уже научатся решать задания вот такого уровня:

1. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABСD, если диагональ AС образует с основанием AD и боковой стороной ABуглы, равные 30° и 45° соответственно.

Решение. Углы А и В — односторонние, поэтому угол В равен 180° − 45° − 30° = 105°. 

Ответ: 105.

 2. В треугольнике ABС угол С прямой, BС = 8 , sin A = 0,4.   Найдите AB.

Решение. Синус угла равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. Поэтому:

 Ответ: 20.

 

Задание №10

Вписанная и описанная окружность, центральный и вписанный угол, касательная и секущая – вот те понятия, которыми должны владеть учащиеся для успешного решения десятого задания экзаменационной работы. Оно полностью посвящено окружности и ее элементам. Помимо знания основных определений, учащиеся должны помнить о теоремах, которые связывают окружность с касательной, вписанными и описанными углами. Данные темы рассматриваются в школьном курсе геометрии в конце 8-го класса.

Примеры заданий:

1. Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду  AB, равную радиусу окружности.

Решение. Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний. Угол AOB — центральный и равен 60° . Угол AСB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом, получаем:

Ответ: 30.

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABС.

Решение. Построим OA и OС радиусы. Центральный угол AOС равен 360°:8 = 45°. Угол ABС — вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому он равен 45°:2 = 22,5°. 

Ответ: 22,5.

3. Радиус OB окружности с центром в точке Oпересекает хорду MN в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если  KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.

Решение. Найдем отрезок OK: OK = OB − KB = 13 − 1 = 12. Так как OB перпендикулярен MN, треугольник MOK — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем:

 Треугольник MON — равнобедренный так как MO = ON = r, тогда MK = KN. Таким образом, MN = MK·2 = 10. 

Ответ: 10.

Задание №11

Учащиеся должны уметь находить площади различных фигур, что проверяется в одиннадцатом задании ОГЭ. Первые формулы для нахождения таких фигур, как прямоугольник и квадрат, дети получают еще в начальной школе. Первое знакомство с формулами для нахождения площади круга происходит в 6 классе на математике. В 8-ом классе на уроках геометрии список формул расширяется, а в 9-ом при изучении соотношений в треугольнике и правильных фигур учащиеся окончательно расширяют список формул, что позволяет им успешно справится с данным заданием в ОГЭ.

Примеры заданий:

1. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение. Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту: 

Ответ: 40.

2. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть дана трапеция ABСD, где AD = 18, BС = 12, AB =, а ∠ABС = 135°. Опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Угол ABH равен: 135° − 90° = 45°.

 

Таким образом треугольник ABH является прямоугольным и равнобедренным. Найдем высоту BH: 

Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту: 

 Ответ: 60.

Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь, деленную на π.

Решение. Найдем радиус сектора из формулы длины дуги: 

Площадь сектора равна: 

 Ответ: 27.

     

Задание №12

Данное задание предлагает учащимся поработать с фигурами на клетчатой решетке. Формулировка задний может быть разной. Чаще всего встречаются задания, где необходимо определить синус, косинус, тангенс или котангенс некоторого угла. Чуть реже встречаются задания, где нужно определить площади некоторых фигур (преимущественно треугольника), конкретные стороны и расстояние от точки до прямой, между прямыми, использовать метод координат. Координатный метод и оотношения в треугольнике вплотную изучаются в курсе геометрии 9-го класса.

Примеры заданий:

1. Найдите тангенс угла А треугольника ABС, изображённого на рисунке.

Решение. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: 

Ответ: 0,4.

2. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

 

Решение. Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABС длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна . В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, т. е. 5 : 2 = 2,5.

 Ответ: 2,5.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А,В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.  Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно шести сторонам клетки, или 6 см. 

Ответ: 6.

     

Задание №13

Заключительное задание первой части модуля «Геометрия» предполагает анализ утверждений, оценку логической правильности суждений, распознавание ошибочных утверждений. Анализируя предлагаемые утверждения, учащимся не всегда будет достаточно знать только определения. Иногда некоторые факты представляют собой небольшое доказательство, в ходе которого и устанавливается правильность утверждения. Данное задание нельзя отнести к конкретной теме, которую изучают в том или ином классе, т.к. утверждения охватывают различные области изучения геометрии.

Примеры заданий:

1.  Укажите номера неверных утверждений. 

1) Диаметр делит окружность на две равные дуги.

2) Параллелограмм имеет две оси симметрии.

3) Площадь треугольника равна его основанию, умноженному на высоту.

 Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Диаметр делит окружность на две равные дуги» — верно, по свойству диаметра.

2) «Параллелограмм имеет две оси симметрии» — верно, и эти оси совпадают с диагоналями параллелограмма.

3) «Площадь треугольника равна его основанию, умноженному на высоту» — верно, по свойству треугольника.

 

Ответ: 1;2;3.

2. Какие из следующих утверждений верны?

 1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

 Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.» — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но не равными.

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.» — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна .

4) «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.» — верно, площадь параллелограмма равна  .

Ответ: 4.

Модуль «Реальная математика»

Задание №14

Четырнадцатое задание – анализ  таблиц. Учащиеся должны уметь пользоваться основными единицами массы, длинны, времени, скорости, площади и объема, выражать более крупные единицы через мелкие и наоборот. Такое задание посильно ученикам 5-6 классов.

Примеры заданий:

1. В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1 января 2013 года. 

*л. с. − лошадиная сила

 Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 162 л. с. в качестве налога за один год?

1) 45
2) 50
3) 7290
4) 6750

Решение. При мощности автомобиля в 162 л. с. он попадает в диапазон от 151—175 л. с., т. е. налоговая ставка составит 45 руб за л. с. в год.

Значит налог к уплате составит 162 · 45=7290. 

Правильный ответ указан под номером 3.

 2. Бабушка, живущая в Краснодаре, отправила 1 сентября четыре посылки своим внукам, живущим в разных городах России. В таблице дано контрольное время в сутках, установленное для пересылки посылок наземным транспортом (без учёта дня приёма) между некоторыми городами России.

Какая из данных посылок не была доставлена вовремя?

1) пункт назначения — Белгород, посылка доставлена 10 сентября
2) пункт назначения — Астрахань, посылка доставлена 12 сентября
3) пункт назначения — Барнаул, посылка доставлена 15 сентября
4) пункт назначения — Архангельск, посылка доставлена 11 сентября

Решение. Определим по таблице контрольное время для пересылки всех четырех посылок и сравним его с временем, которое посылка шла фактически:

1) Из Краснодара в Белгород: контрольное время 9 дней, шла 9 дней — доставлена вовремя;

2) Из Краснодара в Астрахань: контрольное время 9 дней, шла 11 дней — доставлена не вовремя;

3) Из Краснодара в Барнаул: контрольное время 14 дней, шла 14 дней — доставлена вовремя;

4) Из Краснодара в Архангельск: контрольное время 10 дней, шла 10 дней — доставлена вовремя.

 Правильный ответ указан под номером 2.

Задание №15

В пятнадцатом задании экзаменационной работы проверяется умение учащихся работать с графиками, интерпретировать результаты работы с ними, описывать с помощью графиков различные реальные зависимости. Работа с графиками, таблицами и диаграммами не явно выделена в учебниках 5-6 классов, но некоторые задания на отработку в них есть. Поэтому шестиклассник может самостоятельно справится с этим заданием.

Примеры заданий:

1. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наибольшее значение атмосферного давления во вторник.

Решение. Цена деления шкалы давления:  мм рт. ст. Минимальное значение давления  во вторник равно 754 мм рт. ст. плюс половина цены деления шкалы давления:

Ответ: 755.

2. На графике представлена динамика изменения курса доллара США в рублю за период с 19 ноября по 19 декабря. По горизонтальной оси отложены даты, по вертикальной — значения доллара США. Шаг по вертикальной оси равен 0,0372 руб. Определите по графику, каким был курс доллара США к рублю 21 ноября.

Решение. По графику видно, что 21 ноября курс доллара США к рублю был равен 31,4218. 

Ответ: 31,4218.

3. В таблице приведены результаты двух полуфинальных забегов на дистанцию 60 м. В финальном забеге 6 участников. Из каждого полуфинала в финал выходят два спортсмена, показавших первый и второй результаты. К ним добавляют еще двух спортсменов, показавших лучшее время среди всех остальных участников полуфиналов.

Запишите в ответ номера спортсменов, не попавших в финал. 

Решение. В полуфинале 1, лучшее время у спортсмена №4 и у спортсмена №1, таким образом, они выходят в финал. В полуфинале 2, лучшее время у спортсмена №6 и у спортсмена №7 таким образом, они также выходят в финал. Лучшее время из оставшихся спортсменов у спортсмена №2 и №5. таким образом таким образом, они тоже выходят в финал. Таким образом, в финал не попали спортсмены под номерами 3 и 8.

Задание №16

Решать несложные практические расчетные задачи, задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах, интерпретировать с учетом реальных ограничений – все то, что предстоит сделать учащимся в шестнадцатом задании работы. Основные навыки для решения таких задач формируются в 5-6 классах.

Примеры заданий:

1. На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 15 штук в коробку, причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии молока, отправляемой в магазин «Уголок», коробок с полуторалитровыми пакетами молока вдвое меньше, чем коробок с литровыми пакетами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литровыми пакетами молока 32?

Решение. Найдём количество коробок с полуторалитровыми пакетами молока: 32 : 2 = 16. Теперь рассчитаем количество литров молока в этой партии: 32 · 15 · 1 + 16 · 15 · 1,5 = 840 л. 

Ответ: 840.

2. Черешня стоит 150 рублей за килограмм, а виноград — 160 рублей за килограмм. На сколько процентов черешня дешевле винограда?

Решение. Черешня дешевле винограда на 160 − 150 = 10 рублей. Разделим 10 на 160:

 . Значит, виноград дешевле малины на 6,25%.

Ответ: 6,25.

3. Пылесос, который стоил 3500 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке этого пылесоса покупатель отдал кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение. Стоимость пылесоса равна 3500 − 0,1 · 3500 = 3150 руб. Значит, сдача с 5000 рублей составит 1850 рублей.

Ответ: 1850.

Задание №17

В данном задании ОГЭ учащиеся должны уметь описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин. Чаще всего в данном задании встречаются задачи на применение признаков подобия треугольника, теоремы Пифагора, теорем о соотношениях в треугольнике. В зависимости от самого задания оно может быть посильно как восьми-, так и девятиклассникам.

Примеры заданий:

1. Склоны горы образуют с горизонтом угол  , косинус которого равен 0,9. Расстояние по карте между точками  A  и  B  равно 18 км. Определите длину пути между этими точками через вершину горы.

Решение. Гора имеет форму равнобедренного треугольника. Пусть  — длина склона горы. Тогда  откуда . Таким образом, путь через вершину горы равен 20 км. 

Ответ: 20.

2. Дизайнер Павел получил заказ на декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см2) необходимо закупить Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без загибов).

 

Решение. Найдем площади всех деталей, которые необходимо обклеить: . Так как чемодан имеет по две одинаковых детали, вся площадь, которую необходимо обклеить равна . 

Ответ: 17400.

3. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

 

Решение. Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках ABС и FEB. Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть высота фонаря равна xм, тогда , откуда м. Поэтому фонарь расположен на высоте 5,1 м.

 

Ответ: 5,1

Задание №18

В восемнадцатом задании ОГЭ учащимся предлагается  проанализировать числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графикам. Также это задание посильно ученикам 5-6 классов.

Примеры заданий:

 

1. На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей.

Какое из следующих утверждений неверно?

 

1) Пользователей из России больше, чем пользователей с Украины.

2) Пользователей из Белоруссии больше, чем пользователей из Швеции.

3) Больше трети пользователей сети — из Украины.

4) Пользователей из России больше 4 миллионов.

 В ответ запишите номер этого утверждения.

Решение. Проанализируем все утверждения.

1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из Украины.

2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше чем пользователей из Швеции.

3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше 90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.

4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов. 

Ответ:3.

2. Рок-магазин продаёт значки с символикой рок-групп. В продаже имеются значки пяти цветов: чёрные, синие, зелёные, серые и белые. Данные о проданных значках представлены на столбчатой диаграмме. 

 

Определите по диаграмме, значков какого цвета было продано меньше всего. Сколько примерно процентов от общего числа значков составляют значки этого цвета?

1) 5

2) 10

3) 15

4) 20

Решение. Из диаграммы видно, что было продано меньше всего значков зелёного цвета в количестве 150 штук. Определим сколько процентов от общего числа составляют зелёные значки: .  Значит зелёных значков примерно 15% от общего числа. Ответ: 3.

3. Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение оценок по контрольной работе по математике в 8-х классах школы, если из всех оценок в классе пятёрок примерно 35%, четвёрок — примерно 25%, а троек — примерно 23%?

Решение.

Из условия ясно, что количество двоек составляет 100 − 35 − 25 − 23 = 17 %. Третья круговая диаграмма не подходит, поскольку из неё следует, что количество всех оценок одинаково. Четвертая и вторая диаграммы не подходят, поскольку ни один из их фрагментов не составляет 17% от площади всего круга. Первая диаграмма показывает распределение оценок за контрольную. 

Ответ 1.

Задание №19

В данном задании экзаменационной работы проверяется усвоение темы комбинаторика, основы теории вероятностей, математическая статистика. От учащихся требуется умение решать практические задачи, связанные с перебором вариантов, сравнивать шансы наступление случайных событий, оценивать вероятности, исследовать модели с использованием аппарата вероятности и статистики. С данным заданием может справится девятиклассник, т.к. эта тема изучается преимущественно в конце 9-го класса.

Примеры заданий:

1. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норв