Закрепить формулы для нахождения числа перестановок, числа размещений и числа сочетаний в ходе решения задач.
Развивать умение анализировать и обобщать.
Развивать навыки самоконтроля, культуры общения, умение работать в коллективе; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Формы работы: групповая, фронтальная.
Методы работы: интерактивный метод, беседа.
Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.
Технические средства: проектор, экран, персональный компьютер, презентации на электронном носителе.
Деятельность преподавателя
Деятельность обучающихся
1. Сообщение темы занятия и постановка целей (3 мин.)
(Слайд1)
В русских сказках повествуется, как, доехав до распутья, богатырь читает на камне: «Прямо поедешь — голову сложишь, направо поедешь — коня потеряешь, налево поедешь — меча лишишься». А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Как называется раздел математики, который занимается решением таких задач?
(слайд 2)
С какими новыми понятиями вы столкнулись при изучении этой темы?
(слайд 3)
Сегодня мы с вами продолжим работать над темой «Элементы комбинаторики».
Откройте тетради, запишите число и тему урока «Элементы комбинаторики, решение комбинаторных задач».
Какие цели мы должны поставить перед собой на сегодняшнем занятии?
Какой теоретический материал для этого необходимо повторить?
Комбинаторика. Слово «комбинаторика» происходит от латинского «combinare» , что означает «соединять, сочетать»
Область применения методов комбинаторики очень широка.
Комбинаторные задачи. Факториал. Формулы для нахождения числа перестановок, числа размещений, числа сочетаний.
Применять основные формулы комбинаторики в ходе решения задач.
Определение комбинаторики как раздела математической науки. Выяснить отличие комбинаторных задач от других видов математических задач. Определение факториала. Повторить формулы комбинаторики.
2. Актуализация опорных знаний обучающихся (7 мин.)
(слайд 4 Блиц-опрос)
Сформулируйте определение комбинаторики как раздела математической науки.
Какое основное отличие комбинаторных задач от всех других видов математических задач?
Что такое факториал?
Приведите примеры комбинаторных задач.
А существуют ли другие способы решения комбинаторных задач?
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств
Вопрос любой комбинаторной задачи начинается словами «Сколькими способами можно осуществить тот или иной выбор?»
Факториал — это произведение n натуральных чисел от 1 до n включительно.
- Сколькими способами 9 человек могут стать в очередь в театральную кассу? (перестановки)
- Учащиеся I курса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 6 различных предметов? (размещения)
- В группе 5 студентов успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? (сочетания)
Да, с помощью составления дерева возможных вариантов, т. Е. перебора всех возможных вариантов.
(Слайд 5) Ах, эти формулы
Раздать карточки с формулами
Заполняют карточки на соответствия формул
3. Закрепление изученного материала в ходе решения задач (23 мин.)
Работа в группах парами.
Группа № 1: Сколько существует перестановок букв слова «спорт»? А если буквы с, п, о стоят рядом? (слайд 6)
Т. к. в слове «спорт» всего пять различных букв, то это будет число перестановок из пяти элементов, т.е. P5 = 1*2*3*4*5 = 120. Если буквы с, п, о поставить рядом, то они будут составлять единый элемент и их количество э уменьшится до трех и тогда число перестановок будет из трех элементов, т.е. P3 = 1*2*3 = 6.
Группа № 2: В кафе на обед предлагают два первых блюда: борщ и рассольник, три вторых блюда: гуляш, котлеты и пельмени. Укажите все возможные варианты обеда в этом кафе. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
(слайд 7)
ОБЕД
борщ рассольник
гуляш котлета пельмени
гуляш котлета пельмени
Всего возможно 6 вариантов обеда.
Группа № 3:На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4х100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах? (слайд 8)
В данной задаче необходимо не просто перебрать число возможных вариантов, но и установить между выбранными элементами определенный порядок. Значит, необходимо использовать формулу числа размещений, т.е. А124 = 12! / (12 -4)! = 12! / 8! = 9*10*11*12 = 11880.
Группа № 4: В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них три набора? (слайд 9)
Т.к. в данной задаче не важен порядок выбора наборов, то нужно использовать формулу числа сочетаний, т.е. С83 = 8! / (8 — 3)!*3! = 8! / (5!83!) = (6*7*8) / (1*2*3) = 56.
4. Подведение итогов занятия (5 мин.)
С какими понятиями мы сегодня работали?
Что называется факториалом и как его вычислить?
Когда при решении комбинаторных задач надо пользоваться формулой числа сочетаний, а когда использовать формулу числа размещений? В чем их отличие?
Где мы можем встретиться с заданиями подобного рода?
Какие трудности у вас возникли при решении задач?
Почему?
Ответы студентов на вопросы.
5. Рефлексия (2 мин.)
Продолжите предложение. (слайд 10)
Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.
Размещением из n элементов конечного множества по k, где , называют упорядоченное множество, состоящее из k элементов.
Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k.
Учащиеся школы изучают 12 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы в нём было 5 различных предметов?
Решение: .
Ответ: 95 040 способов.
Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:
N = A310 = 1098=720.
Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10, m = 3.
Получаем C310 = 10!/3!7! = 120.
Бесплатный обед.
10 молодых людей решили отпраздновать окончание института товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие — по возрасту, третьи — по успеваемости, четвертые — по росту и т.д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:
— Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол как придется и выслушайте меня.
Все сели как попало. Официант продолжал:
— Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т.д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.
Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако дождаться этого дня им не пришлось. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется, — ни мало, ни много, — 3 628 800. Такое число дней составляет почти 10 тысяч лет! Это, на первый взгляд, невероятно, но так оно и есть!
