Городская конференция обучающихся муниципальных образовательных учреждений

                                      «Шаги в науку»

Научное общество обучающихся

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №68»

Научное направление «Математика»

«Устный счёт – гимнастика ума»

Рыспаева  Альмира 

Анатольевна

7 а класс

МОУ «СОШ №68»

Руководитель: учитель математики

МОУ «СОШ №68»

Кузнецова Наталья Николаевна

                                                     Омск, 2011

Содержание       

                                                                                                  Стр.

1.                Введение  (актуальность,  объект,  предмет,  цель,      

          задачи исследования).                                                           3                                                         

2.        Теоретическая часть.                                                            4

3.        Практическая часть.                                                              6

     4.        Заключение.                                                                           13

5.       Библиографический список.                                                 14

     6.         Приложения.                                                                         15

                                                -2-

Введение

       Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов.

     Освоение вычислительных навыков развивает мою память и помогает полноценно усваивать предметы физико - математического цикла.

Объект исследования – умножение на двузначные числа, числа близкие к 100, 1000 и некоторые числа больше 1000.

Предмет исследования – применение различных способов умножения натуральных чисел при устном счете.

Цель – рассмотреть приемы умножения натуральных чисел, для производства которых  достаточно  устного счета.

Задачи  :

1.                Изучить способ умножения на 11, алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100, в общем виде.

2.                Рассмотреть некоторые способы умножения натуральных чисел, используемые при устном счете.

3.                Показать применение этих способов на примерах.

                                                          -3-

Теоретическая часть

    Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме. Они могут быстро умножить 21734 на 543, знают таблицу умножения чисел от 1 до 100, и вообще делают то, что обыкновенному человеку так же трудно, как поднять штангу на которой повисли несколько человек  (а ведь цирковые артисты делают это !).

   Но некоторыми приёмами, ускоряющими вычисления, могут овладеть и самые обычные люди.

   Пусть,  например,  надо умножить   26  на 11.

  Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

26 ∙ 11 = 2 (2 + 6) 6 = 286

   Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример

95 ∙ 11 = 9 (9 + 5) 5 = 9 (14) 5 = (9 + 1) 45 = 1045

Следующее равенство объясняет, на чем основан этот способ умножения:

(10а + b) ∙ 11 = 110 а + 11 b = 100a + 10a + 10b +1b =100 а + 10( а + b ) + b

-4-

     Если спросить семиклассника, какие двузначные числа труднее всего перемножить, то он вероятно, скажет: «Числа, близкие к 100, например

98 ∙96». На самом деле такие двузначные числа  легко умножить в уме.

Пишем:  98 ∙ 96 = 9408 (девяносто четыре – нуль восемь).  При  устных

                            2        4

вычислениях  удобно пользоваться «телефонным способом чтения чисел»:

каждое число разбивается по 1- 2 цифры в каждой, и каждая группа читается как отдельное число.  

Алгоритм перемножения двузначных чисел,

близких к 100

  Чтобы перемножить два числа, близких к 100, надо:

1)    найти недостатки сомножителей до 100;

2)    вычесть из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3)    к результату приписать двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Пример

                               1

93 ∙ 85 = 7805 = 7905

  7          15

А почему можно так умножать числа? Ответ на этот вопрос дает алгебра.

Пусть нужно перемножить два двузначных числа  х  и  у , близких к 100. Запишем их так:

x = 100 – а,  где  а  -  недостаток  числа  x  до 100 ;

у = 100 – b,  где  b  -  недостаток  числа  у   до 100 .

x ∙ у = (100 – а) (100 – b) = 100∙100 - 100b – 100a + ab = (100 –b)∙100 – 100a + + ab=  = (100 – b – a) ∙ 100 + аb = (100 – а – b) ∙ 100 + аb =

= (x – b) ∙ 100 + аb.

Итак,  в  произведении  всего   x – b  сотен и  а ∙ b единиц.

Отсюда и вытекает алгоритм. ( Он особенно удобен, если а и b меньше 25.)

-5-

                                Практическая часть

1.                Умножение на 25

  Для того, чтобы научиться устно умножать на 25 надо знать признак делимости на 4.

На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.

Пример:

136 делится на 4 , так как 36 делится на 4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 ∙ 25 = (484 : 4) ∙ 25 ∙ 4 = 121 ∙ 100 = 12100

124 ∙ 25 =124 : 4 ∙ 100 = 3100 

2.                Умножение на 50

Для того, чтобы число умножить на 50, надо это число разделить

на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432 ∙ 50 = (432 : 2) ∙ 50 ∙ 2 =216 ∙ 100 = 216000

642 ∙ 50 = 642 : 2 ∙ 100 = 32100

3. Умножение на 75

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

 Примеры:

32 ∙ 75 = (32 : 4) ∙ 75 ∙ 4 = 8 ∙ 300 = 2400;

48 ∙ 75 = 48 : 4 ∙ 300 = 3600.

                                      -6-

4. Умножение на 125

Чтобы научиться устно умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.

На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Примеры:

3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;

5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;

12 328 делится на 8, так как 328 делится на 8.

Как узнать, что трехзначное число делится на 8?

Рассмотрим примеры:

632 кратно 8, так как (63 +    )  делится на 8 (64 делится на 8);

712 кратно 8, так как  (71 +  ) делится на 8 (72 делится на 8);

304 кратно 8, так как (30 +  ) делится на 8 (32делится на 8);
          376 кратно 8, так как  (37