Проект предназначен для расширения кругозора учащихся по теме «площади», позволяет узнать о применении математики в землемерии и быту, об истории измерения площадей, показывает основные приемы вычисления площадей плоских фигур, используя знание формулы площади квадрата и прямоугольника, и приемы конструирования.

 

 

Исследовательский проект по математике

«Площади в нашей жизни»

 

 

 

                 

Выполнила: учащаяся 8«а» класса                                                                         

                                                                                 МОУ «СОШ с.Сторожевка»

                                                                                    Татищевского района

                                                                                     Саратовской области

                                                                                       Ружич Валерия

                                                                 Руководитель: учитель математики

                                                                       Жогаль Марина Александровна

                  

 

                                                      2014г.

 

 

Содержание

 

 

Ι.Введение……………………………………………………………….3

Глава ΙІ. Основная часть……………………………………………..4

2.1  История измерения площадей……………………………………..4

2.2 Измерение площадей………………………………………………..6

2.3 Площади некоторых многоугольников……………………………7

2.4 Примеры решения задач……………………………………………9          

ГлаваΙΙΙ. Практическая работа

 Площади в нашей жизни………………………………………………12

Заключение ………………………………………………………….  ..15

Список источников……………………………………………………..16

Аннотация ……………………………………………………………..17

Приложение…………………………………………………………....18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ι.Введение

 

      Мы с мамой решили сделать ремонт в квартире. Так как мама воспитывает нас с сестрой одна, то мы стараемся экономить. Мне предстояло выполнить необходимые измерения и вычисления, чтобы не покупать лишние обои и линолеум.

   Формулы вычисления многоугольников мы не учили. Пришлось вспомнить математику за 5-6 класс и применить навыки конструирования.

Мне стало интересно, как измеряли и вычисляли площади в древности?

   Основная цель данного проекта – применить конструирование при вычислении площадей на практике; применить математику для экономии материалов и семейного бюджета.

    Мы считаем, что выбранная тема нашей работы является актуальной, так как, приходя в магазин или на рынок, наши глаза разбегаются от многообразия вида и цен товаров. Но материальные возможности разные и любой человек  стремится экономить  и уложиться в определенную сумму.

  Цель моей работы:

- Найти в научных источниках и изучить, как вычисляли и измеряли площади раньше и в наше время;

- Изучить применение умения вычисления площадей в нашей жизни и при решении задач из ЕГЭ по математике

  -Провести практическую работу.

   В связи с поставленной целью мною была изучена история развития измерения площадей, и предложены способы вычисления многоугольников и т.п.

 

 

 

ΙΙ. Основная часть

 

2.1.  Из истории измерения площадей и землемерия

 

     Из информационных источников я познакомилась с историей измерения площадей.

      Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

     Вначале людей удовлетворяли субъективные меры, общие для жителей некоторой территории. Так, например, в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец. В России такой мерой был "плуг" - часть поля, которую можно было вспахать на паре волов за день. В Америке - индейцы при покупке земли в качестве единиц измерения принимали территорию, которую человек мог обежать за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этой цели самого быстрого бегуна.

 

     В притче "Много ли человеку земли надо" Л. Н. Толстой рассказывает необычную историю . Герой ее - мужик Пахом - покупает землю. За 1000 рублей ему передается во владение участок, который он сможет обойти за день. Конечно, мужику хочется получить за свои деньги как можно больше земли. Он торопится, спешит и загоняет себя до смерти. В результате Пахом получает, как и любой покойник три аршина земли. "Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил - три аршина, и закопал его". Так кончает писатель свой рассказ.

     То, что в разных странах существовали различные меры длины, веса, площади и т. п., было неудобно. Это мешало развитию торговли, ремесел, и в 1791 году Национальное собрание Франции по предложению Комиссии по мерам и весам Академии наук утвердило новую систему мер, которая, по мнению ее создателей, годилась "на все времена и для всех народов". В соответствии с этой системой длина измерялась в метрах, вес - в килограммах, а площадь земельных участков - в арах.

     В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию, по которой обязывались ввести в своих странах систему мер, разработанную французскими учеными. Но еще долго всюду употреблялись местные меры. В России это были старинные меры, узаконенные еще Петром 1. Рассмотрим их перевод в современные единицы измерения :

 Квадратная (кв.) верста = 250000 кв. саженей = 1,1381 км2;

десятина = 2400 кв. саженям =1,0925 га = 10925 м2; кв. сажень = 9 кв. аршинам =4,5522 м2; кв. аршин = 256 кв. вершкам = 0,5058 м2; кв. вершок = 19,758 см2.

       14 сентября 1918 года был принят декрет "О введении международной метрической десятичной системы мер и весов".  Только после Великой Октябрьской социалистической революции метрическая система стала обязательной на всей территории России. Окончательно же эта система вошла в употребление в СССР с 1927 года.

 

 

 

 

2.2. Измерение площадей

 

     Площадь -  это величина показывающая размер той части  плоскости, которая очерчена соединенными  между собой отрезками.

Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой.

   Но ведь землю нельзя разделить на равные куски, как лист бумаги: берега реки извилисты, границы участка будут ломаными линиями. И люди научились измерять площади таких участков ,разбивая их на части в виде прямоугольников и треугольников.

     Свойства :

Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

   Вспомним мультфильм «38 попугаев», где удава измеряли попугаями, мартышками, слонами…, следовательно измерить - сравнить с какой-либо единицей измерения.

  Измерить площадь фигуры - подсчитать сколько раз единичный квадрат (и его части) поместится в данной фигуре.

    За единицу измерения площадей принимают квадрат .

 Принято, что площадь квадрата со сторонами равными 1 тоже равна 1.  Если стороны измерены в метрах , то площадь будет измеряться в м 2,  если в см , то и площадь в   см 2. 

Площадь квадрата со стороной  а  равна S= а 2 .

 

2.3. Площади некоторых многоугольников.

 

2.3.1. Площадь прямоугольника

 

    Для нахождения площади нам надо  найти, сколько единичных квадратов умещается в нашем прямоугольнике, а для этого надо умножить длину на ширину. 

 а   —   длина;       b   —   ширина;       S   —   площадь;   

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 Площадь прямоугольника S=а· b,         

 

 

2.3.2. Площадь прямоугольного треугольника

 

   Площадь прямоугольного треугольника - половина площади достроенного прямоугольника .S=(а· b) : 2, где а - ширина, b -длина   достроенного прямоугольника     или стороны , образующие прямой угол треугольника                                    

                            

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения сторон, образующих прямой угол – катетов.     

                          

2.3.3. Площадьтреугольника

         

а

 

1

 

2

 

                                       S=S1+S2   ,        S=(a·b1):2+(a·b2):2=а·(b1+b2):2=(а·b):2

                                                        получим    S=(а·b):2   

    b1                        b2 

 Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к данной стороне.   

            

2.3.4. Площадь многоугольника

 

Для вычисления площади многоугольника используем свойство:

Площадь фигуры равна сумме площадей всех её частей

   Многоугольник можно разрезать на части, представляющие собой прямоугольники и прямоугольные треугольники.

4

 

3

 

2

 

1

 

                                                                        

 

                                                             S=S1+S2 +S3+S4                     

 

 

 

 

2.4. Примеры решения задач

Рассмотрим разнообразные задачи на определение площади фигуры.

   Используем конструирование:

 – «разрезаем» фигуру на части, площади которых вычисляем и суммируем;

- достраиваем фигуру до прямоугольника и «отрезаем» лишние части (из площади прямоугольника вычитаем площади «отрезаемых» частей)

Задача 1.      

       

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.  От   квадрата со стороной 6 см отрежем три прямоугольных треугольника с катетами 4 и 5см, 2 и 6 см, 1 и 6 см. Получим искомый треугольник. Вычисляем площадь 62_ 4·5:2 - 2·6:2 -1·6:2=36- 10 -6-3=17 см2

Ответ: 17 см2.