Задачи на делимость

Учитель математики

МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова   Е.В.Кирина

Задача 1.

Доказать, что при всяком целом n число n3 – n

делится на 3.

Доказательство.

Имеем n3 – n=(n-1)n(n+1), а из трёх

последовательных чисел одно обязательно

делится на 3.

Задача  2.   Доказать, что при всяком целом  nчисло n5 – n

делится на 5.

Доказательство.

   Имеем n5 – n=n(n-1)(n+1)(n2 +1).  Если целое

число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5,

6 или 9, то один из первых множителей на 5.

Если n оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8,

то n2 оканчивается на 4 или 9 и n2 +1 делится на 5.