ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МАНАРБЕК МАХПАЛ

СТАЦИОНАР ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ҮШІН ЖЫЛУ КӨЗІН ҚАЛПЫНА КЕЛТІРУДІҢ ҚИСЫНДЫ ЕМЕС ЕСЕБІ

Автореферат

6М070500 – «Математикалық және компьютерлік модельдеу» мамандығы

 (ғылыми - педагогикалық бағыт)

Астана қ., 2015

Магистрлік диссертация кіріспеден, 3 бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланған деректер көздері тізімінен, 1 қосымшадан тұрады. Суреттердің саны – 47, кестелердің саны – 1. Жалпы көлемі 76 бет.

Түйін сөздер: кері есептер, қисынды емес есептер, регуляризация, Лаплас теңдеуі, квазишешім әдісі, шу, Фурье әдісі, Коши есебі, сандық реконструкция, дифференциал теңдеулер,  Лагранжиан, функционал минимумы

Зeрттey жұмысының өзeктілігі. Қисынды емес және кері есептер табиғи және технологиялық құбылыстарды модельдеу кезінде кеңінен таралған болып есептелінеді. Стационар диффузияның үрдістері электр, жылу құбылыстарында жиі кездеседі. Анықталғандық үшін біз жылу диффузиясы үшін есепті құрастырамыз, алайда мұндай есептің математикалық моделі  өзінің әмбебаптылығының арқасында басқа да құбылыстарға таралуы әбден мүмкін. Стационар диффузия теңдеуі ортадағы қоспалар мен ластанудың таралуы мен деңгейін бейнелеу үшін  арналған және фильтрлеу есептерінде жиі кездеседі. Сонымен қатар, бұл есептердің маңыздылығы суды ластанудан тазарту есептері және фильтрлеуші заттардың параметрлерін бағалау болып табылады. Бұл жерде егер бақылаушыға тек белгілі бір уақыт аралығындағы өлшеу нәтижелері немесе өлшеулер тек қана белгілі бір аумақ шегінде ғана жүргізілсе, қоспаның қайнар көзін табу есебі қазіргі таңда практикалық маңызын тауып отыр.

Көптеген практикалық қосымшаларда зерттеушіге  керекті шамалардың финалдық өлшеулері ғана қолжетімді болады, бұл жерге көздердің ортадағы таралуын немесе бастапқы таралуды анықтау қажет болады. Практикалық қосымшалардың көбісінде қарастырылып отырған аумақтың шекарасының бөліктері қолжетімсіз болады және  бұл шекаралардағы шекаралық шарттардың қойылымы есептің физикалық мәнін ашпайды. Сондықтан шекараның белгісіз бөліктерінде шекаралық шарттарды анықтау есебі практикалық түрде қызығушылық туғызады. Қосымша шарттар негізінде қолжетімді шекарадағы барлық мүмкін өлшеулер қолданылады. Мысалы, жылудың таралу есебінде бақылаушыға ортаның тек сыртқы шекарасы қолжетімді болуы мүмкін, ал ішкі шекарасындағы жылу ағымын анықтау қажет. Мұндай жағдайдың математикалық моделі цилиндрлік координаталардағы жылуөткізгіштіктің стационар теңдеуі үшін кері есеп ретінде жазылады. 

Зeрттey мaқсaты: цилиндрлік қабаттың қолжетімді емес шекарасында жылу ағымын қайтадан қалпына келтірудің жаңа әдісін сандық жүзеге асыру және осы есепке сәйкес бағдарламалар пакетін әзірлеу.

Зeрттey нысaны: бірнеше қабаттан тұратын, радиустары және жылуөткізгіштік коэффициенттері әр түрлі болатын цилиндрлік нысан.

Зeрттeyдің міндeттeрі: жоғарыда көрсетілген мақсатқа жету үшін келесі тапсырмаларды орындау қажет:

1.                Қол жетімді емес ішкі шекарасы бар цилиндрлік қабаттағы стационар жылуөткізгіштік үшін кері есептің қойылымын құрастыру;

2.                Есептің квазишешімінің анықтамаларын құрастыру;

3.                Үйлесімсіздік градиентінің функционалы үшін формуланы қорытып шығару;

4.                Түйіндес есептің қойылымын шығару;

5.                Тиімдендірілген тәсіл көмегі негізінде кері есептің шешімінің әдісін шығару;

6.                Сандық тәжірибелерді өткізу.

Зeрттey әдістeрі: регуляризация әдісі, Фурье әдісі, квазишешім әдісі, функционалды минимизациялау әдiсі, қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу әдістері.

Алынған нәтижелер:

1.                Қолжетімді емес ішкі шекарасы бар цилиндрлік қабаттағы стационар жылуөткізгіштік үшін кері есептің қойылымы;

2.                Есептің квазишешімінің анықтамалары;

3.                Үйлесімсіздік градиентінің функционалы үшін формула;

4.                Түйіндес есептің қойылымы;

5.                Тиімдендірілген тәсіл көмегі негізінде кері есептің шешімінің әдісі;

6.                Сандық тәжірибелер;

7.                Есептің тиімдендірілген шешімі.

Ғылыми жаңалығы: қойылған кері есепті шешудің жаңа әдісінің сандық жүзеге асырылуы. Көрсетілген есептердің шешiмдерiн алуда  функционалдардың минималдық шартына негiзделген тұтас әдісті қолдану болып табылады. Атап айтқанда, алдымен тұтас теңдеулер жүйесі түрінде жазылған функционалдар минимумының қажеттілік шарттарынан алынады, содан соң алынған жүйе аналитикалық және сандық жолдардың комбинациясы арқылы сандық шешіледі. Ұсынылып отырған диссертацияда стационар жылуөткізгіштік процесстер үшiн есептің белгілі және жаңа қойылымдары қарастырылады. Есептің ерекшелiгі тура және кері есептен тұратын тұтас теңдеулер жүйесі болып былады.

Ғылыми маңыздылығы:  Берілген зерттеу кері және қисынды емес есепті шешудің жаңа әдісін қолдануды тұжырымдайды. Жұмыста қарастырылған әдістер, алынған аналитикалық формулалар негізінде есептерді терең зерттеуге, сандық тәжірибелер жүргізудің шарттарын анықтауға мүмкіндік береді.

Практикалық маңыздылығы: Берілген зерттеудегі есептің математикалық моделі цилиндрлік қабаттың ішкі шекарасындағы жылу және жылу ағымын өлшеу негізінде және осы цилиндрлік  қабаттың ішкі шекарасындағы қол жетімді емес ішкі шекарасындағы жылу ағымының қарқындылығын қайта қалпына келтіруге мүмкіндік береді.

Жариялымдар туралы мәлімет:

1.                Цифрлiк сүзгі негізінде дифференциалдау амалы // Ғылым және білім– 2014: Студенттер мен жас ғалымдардың  IX Халықаралық ғылыми конференциясы. -  Астана, 2014.- Б.2349-2352

2.                Бірнеше қабатты ортада стационар диффузия моделі үшін қолжетімсіз шекарада жылу ағымын қалпына келтіру кезіндегі тура есеп қойылымы // Ғылым және білім – 2015:Студенттер мен жас ғалымдардың X Халықаралық ғылыми конференциясы. -  Астана, 2014. – Б.2212-2215

3.                Мatlab бағдарламалық пакеті негізіндестационар жылуөткізгіштік үшін жылу көздерін қалпына келтіру кезіндегі тура есептің қойылымының нәтижелерін көрсету // «Білімді ақпараттандыру»:  «Информатика» кафедрасының меңгерушісі Әлжанов А.Қ50-жылдық мерейтойына орай Халықаралық ғылыми-тәжірибелік онлайн конференция. -  Астана, 2015. -  Б.582-585

ДИССЕРТАЦИЯЛЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАША МАЗМҰНЫ

Кіріспe бөліміндe жылу көзін қалпына келтіру бойынша зерттелген әдебиеттерге шолу жасалды, сонымен бірге зерттеудің мақсаты, өзектілігі, маңыздылығы, жаңалығы, әдістері атап көрсетілді.

Бірінші бөлімде «Кері және қисынды емес есептер» деп аталады. Мұнда кері және қисынды емес есептер туралы мысалдар, теоремалар келтірілген. Сызықты алгебраның, интегралды және операторлық теңдеулердің, интегралдық геометрияның кері және қисынды емес есептерінің, спектралды кері есептердің шешу және зерттелу әдістері көрсетілген. Сонымен қатар, кері және қисынды емес есептердің негізгі анықтамалары мен әр түрлі мысалдары келтірілген. Бір жағынан қарасақ, мұндай есептер математиканы толық қамтиды, ал басқа жағынан қарасақ осы есептер математикалық әдістер қолданылатын кез келген облыста пайда болады. Кері және қисынды емес есептер өте ерте заманнан келе жатса да, тек ХХ ғасырдың ортасында ғана жүйелі түрде зерттеле басталып, қазіргі заманғы ғылымның перспективті облысы атағын алды.

 «Цилиндрлік координаталарда стационар диффузиясы үшін сызықты кері есептің сандық шешуі»  aтты eкінші тaрayдa әдістің жұмысқа қабілеттілігін көрсеттік. Цилиндрлік координаталарда стационар жылуөткізгіштік есебі үшін тура және түйіндес есептерден тұратын  байланысқан теңдеулер жүйесі үшін Фурье әдісі жүзеге асырылды. Бұл жүйе функционалдың минимум нүктесіндегі бірінші вариацианың нөлге теңдігінің қажетті шартын сипаттайды. Бұл әдіс екі өлшемді жағдай үшін сандық мысалдардың көптеген түрлерін жүзеге асырып, есеп сәтті шығуы мүмкін кезіндегі регуляризация параметрінің эмпирикалық мәндерін бекітуге мүмкіндік берді. Фурье қатарлары арқылы ізделінді шешім үшін табылған формула алынған нәтижелерді тиянақты зерттеуге мүмкіндік берді, ол өз қатарында әдістің артықшылығы болып табылады. Екінші бөлім келесі деректерді қарастырады:

-                   Есептің қойылымы және есептеу формулалары;

-                   Цилиндрлік координаталар жүйесіндегі есептің қойылымы;

-                   Есептеу формулалары және шешу алгоритмі;

-                   Минимум шартын қанағаттандыратын теңдеулер жүйесін шешу

әдісі;

-                   Сандық тәжірибелерді жүзеге асыру;

-                   Кері есепті шешу үшін мәліметтерді синтезі;

-                   Сандық нәтижелер және екі өлшемді жағдай үшін параметрлерді

таңдау;

-                   Кері есепті шешу үшін жасанды (синтетикалық) деректерді

есептеу.

Үшінші бөлім «Цилиндрлік координаталар жүйесінде кері есепті сандық шешу» деп аталады және мұнда цилиндрлік координаталар жүйесінде кері есепті сандық шешу әдістерін бейнелейді және де мұнда сандық тәжірибелердің нәтижелері көрсетіледі. Зерттеудің бұл кезеңінде біз екі өлшемді жағдайды қарастырдық. Өлшенген деректер ретінде біз сыртқы шекарадағы жылу ағымын аламыз. Екі өлшемді жағдай үшін кері есепті шығару формулаларын қорытып шығардық, Бірінші қабат үшін аналогты қалпына келтіру формуласымен есептесек, екінші қабатта температураны қалпына келтірудің жаңа әдісі қолданылды. Сандық тәжірибелердің көптеген нұсқасы қарастырылып, ең тиімді параметрлер таңдалынды. Кері есепті шығаруда шудың әсерін көрсеттік. Шудың мөлшерінің ең тиімді нұсқасын таптық. Әр түрлі параметрлер мен функцияларды қарастыру арқылы, есептің шешімін анықтадық және графиктерді бейнеледік.

Қалпына келтірудің сапасын тексеру мақсатында да зерттеулер жүргізілді. Мұнда есептің параметрлерін өзгертіп отырдық: цилиндр қабаттарының радиустары, гармониктер, регуляризация параметрі, шу деңгейі, жылуөткізгіштік коэффициенттер, берілген функция Осы зерттеулер негізінде біз әзірлеген әдістер мен алгоримдер белгісіз көздерді ең жоғарғы дәлдікпен қалпына келтіретін мәліметтер диапазонын аламыз.

Қорытынды бөлімінде диссертациялық жұмыстың нәтижелері, есептің шешімі, тиімді нұсқалары көрсетілді. Қалпына келтірілетін ең тиімді функциясы, қабаттардың радиустары мен жылуөткізгіштік коэффициенттері, регуляризация параметрі мен шу деңгейі таңдалынды.

Резюме

Берілген диссертация стационар диффузия кезіндегі цилиндрлік қабаттың қолжетімді емес шекарасында жылу ағымын қайтадан қалпына келтірудің жаңа әдісін сандық жүзеге асыру және осы есепке сәйкес бағдарламалар пакетін әзірлеуге арналған.

 Зeрттey нысaны ретінде бірнеше қабаттан тұратын, радиустары және жылуөткізгіштік коэффициенттері әр түрлі болатын цилиндр алынған.

Диссертациялық жұмыс нәтижесінде қайта қалпына келтірілетін ең тиімді функция, сонымен қатар регуляризация параметрі, шу деңгейі, қабат радиустары мен жылуөткізгіштік қасиеттер таңдалынады.

Резюме

В настоящей диссертации рассматривается численное реализование нового метода восстановления источника тепла в недоступной границе цилиндрического слоя и разработка соответствующего пакета программ для их реализации.

В качестве объекта мы выбрали цилиндр состоящий из нескольких слоев с различными радиусами и коэффициентами теплопроводности.

В результате диссертационной работы мы находим оптимальную функция для восстанавления, также методом подбора выбираем параметр регуляризации, уровень шума, радиусы и теплопроводность слоев.

Resume

This thesis examines a new method of numerical realizovanna recovery of the heat source in an inaccessible border cylindrical layer and the development of the relevant software package for their implementation.

As an object, we chose a cylinder consisting of several layers with different radii and thermal conductivity.

As a result of the thesis, we find the optimum function for vosstanavleniju also choose the method of selection of the regularization parameter, noise, and thermal conductivity of the radii of the layers.