Сопряжения 

(Показать несколько деталей, имеющих скругления). 

Рассматривая детали, видим, что в их конструкции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе.

На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

Такой плавный переход одной линии (поверхности) в другую линию (поверхность) называют сопряжением.

При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т.е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания. 

Задачи на сопряжения условно можно разделить на 3 группы.

 Первая группа задач включает в себя задачи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии.   Это может быть непосредственное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

 

Построим окружность, касательную к прямой.

 Построение окружности, касательной к прямой, связано с нахождением точки касания и центра окружности.

 Задана горизонтальная прямая АВ, требуется построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 1).

 

   

Рис. 1

 

 

 

 

 

Точка касания выбирается произвольно.

Так как точка касания не задана, то окружность радиуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно провести множество. Центры этих окружностей (О1 , О2 и т.д.) будут находиться на одинаковом расстоянии от заданной прямой, т.е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 1). Назовем эту линию линией центров.

 Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоянии R. Так как центр касательной окружности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например, точку О.

Прежде чем проводить касательную окружность, следует определить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точки О на прямую АВ. В пересечении перпендикуляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

 

Запишите в свои тетради в клетку следующие правила:

 

Если в сопряжении участвует прямая линия, то:

1)  центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

2) точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к заданной прямой.

 

 

Сопряжение двух прямых.

 

На плоскости две прямые могут располагаться параллельно или под углом друг к другу.

Чтобы построить сопряжение двух прямых, необходимо провести окружность, касательную к этим двум прямым.

 Откройте рабочие тетради на странице 31.

 Рассмотрим сопряжение двух непараллельных прямых.

 Две непараллельные прямые располагаются друг к другу под углом, который может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса (рис.1). Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопряжения необходимо найти центр дуги сопряжения и точки сопряжения.

Известно, что если в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на линии центров, которая проводится параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения.

Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров  параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Точка их пересечения будет центром дуги сопряжения.

           

а)

   

б)

 

 

 

            

     

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Рис.2

 

Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные прямые и получают точки сопряжения К и К1. Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопряжения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.

При построении сопряжения прямого угла упрощается проведение линии центров, так как стороны угла взаимно перпендикулярны. От вершины угла откладывают отрезки, равные радиусу R дуги сопряжения, и через полученные точки К и К1, которые будут точками касания, проводят две линии центров, параллельные сторонам угла. Они будут являться одновременно и линиями центров, и перпендикулярами, определяющими точки сопряжения К и К1 (стр. 31, рис.1).

 

 

 

 

 

  Стр. 31, задание 4. Сопряжение двух параллельных прямых.

 

Чтобы построить сопряжение двух параллельных прямых, необходимо провести дугу окружности, касательной к этим прямым (рис.3).

               

а)

   

б)

   

в)

       

 

 

 

 

 

 

Рис.3

                                     

Радиус этой окружности будет равен половине расстояния между заданными прямыми. Так как точка касания не задана, подобных окружностей можно провести множество. Центры их будут находиться на прямой, проведенной параллельно заданным прямым на расстоянии, равном половине расстояния между ними. Эта прямая будет линией центров.

Точки касания (К1 и К2) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра касательной окружности на заданные прямые (рис. 3а). Так как центр касательной окружности не задан, перпендикуляр проводится произвольно. Отрезок КК1 делят пополам (рис.3б), проводят через точки пересечения засечек прямую линию параллельно заданным прямым, на которой будут располагаться центры окружностей, касательных к заданным параллельным прямым, т.е. эта линия будет линией центров. Поставив ножку циркуля в точку О, проводят дугу сопряжения (рис. 3в) от точки К до точки К1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение прямых, касательных к окружностям

(Р.Т. стр.33).

 

Задание 1.  Проведите прямую, касательную к окружности через точку А, лежащую на окружности.

 

Из точки О проводим прямую OB через точку А. Из точки А любым радиусом проводим окружность. При пересечении с прямой получили точки 1 и 2. Из этих точек любым радиусом проводим дуги до пересечения между собой в точках Cи  D. Из точки Cили  Dпроводим прямую через точку А.

 

Она и будет касательной к окружности, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Задание 2.

 

Это построение аналогично построению перпендикуляра к прямой через заданную точку, которое можно выполнить с помощью двух угольников.

Сначала угольник 1 кладется так, чтобы его гипотенуза совпадала с точками O и A.Затем кугольнику 1 прикладывается угольник 2, который будет направляющим, т.е. по которому будет сдвигаться угольник 1. Потом угольник 1 приставляем другим катетом к угольнику 2. Затем катаем угольник 1  по угольнику 2 до тех пор, пока гипотенуза не совпадет с точкой A. И проводим прямую, касательную к окружности через точку A.

 

Задание 3.   Проведите прямую, касательную к окружности через точку,  не лежащую на этой окружности.

 

Даны окружность радиусом R и точка А, не лежащая на окружности, требуется провести из точки А прямую, касательную к данной окружности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Мы знаем, что точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол.

 Зная, что всякий угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О, принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окружности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К). Отрезок АО делим пополам при помощи циркуля, получаем точку О1 (рис.4, б).

Из центра О1 радиусом, равным отрезку АО1, проводим окружность, получаем точки К и К1 в пересечении с окружностью радиуса R (рис.4 ,в).

Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К. Точку К соединяем с точками А и О, получаем прямой угол, который опирается на диаметр АО описанной окружности радиусом R1. Точка К – вершина этого угла (рис.4, г), отрезки ОК и АК – стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК – искомой касательной.

б)

 

а)

 

  

 

 

г)

 

в)

 

 

 

 

Рис.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведение прямой, касательной к двум окружностям.

 

Даны две окружности радиусами R и R1 , требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.

При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей.

При внутреннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей.

 

Стр. 33. Задание 5. Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внешнее.

 

Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они должны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О1) к касательной.

Из точки О проводим окружность радиусом  R - R1 ,так как касание внешнее.

Разделим расстояние ОО1 пополам и проведем окружность радиусом R=ОО2=О1О2

Эта окружность пересекает окружность с радиусом R-R1 в точке К. Соединяем эту точку с О1.

Из точки О через точку К проводим прямую до пересечения с окружностью радиусом R.  Получили точку К1 – первую точку касания.

Из точки О1 проводим прямую, параллельную КК1, до пересечения с окружностью радиусом R1. Получили вторую точку касания К2. Соединяем точки К1 и К2. Это и есть касательная к двум окружностям.

 

Задание 6. Проведите прямую, касательную к двум окружностям. Касание внутреннее.

 

Построение аналогичное, только при внутреннем касании радиус вспомогательной окружности, проводящейся из точки  О  равен сумме радиусов окружностей R+R1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая группа задач на сопряжения включает в себя задачи, в которых участвуют только окружности и дуги. Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственно касанием, или через третий элемент – дугу окружности.

Касание двух окружностей может быть внешним (РТ: стр.32, рис.3) или внутренним (РТ: стр.32, рис.4).

 

Задание 3 (стр. 32)

При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов.

 

Из точки О радиусом R+RC проведем дугу. Из точки О1  радиусом R1+RCпроведем дугу до пересечения с первой дугой. Получили точку ОС - центр сопряжения.

Соединяем точки О и О1 с центром сопряжения ОС. На окружностях получили точки касания (сопряжения).

Из точки ОС  радиусом сопряжения RC30 соединяем точки касания.

 

Задание 4 (стр. 32)

При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов.

 

Из точки О радиусом (RC– R)проведем дугу. Из точки О1  радиусом (RC– R1)проведем дугу до пересечения с первой дугой. Получили точку ОС - центр сопряжения.

Центр сопряжения ОС  соединяем с точками О и О1 с и продлеваем прямую дальше.

На окружностях получили точки касания (сопряжения).

Из точки ОС  радиусом сопряжения RC60 соединяем точки касания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Третья группа задач на сопряжения включает в себя задачи на сопряжения прямой и дуги окружности дугой заданного радиуса.

 

Выполняя такое задание, решают как бы две задачи: проведение касательной дуги к прямой и касательной дуги к окружности. Касание в этом случае может быть как внешним, так и внутренним.

 

РТ: стр. 32. Задание 1.  Сопряжение окружности и прямой. Касание внешнее. RC 20.

Заданы прямая и окружность радиусом R, требуется построить сопряжение дугой радиуса RC 20.

Так как в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на прямой, проведенной параллельно заданной прямой на расстоянии, равном радиусу сопряжения RC 20.  Поэтому параллельно заданной прямой на расстоянии 20 мм проводим еще одну прямую.

А центр дуги сопряжения при внешнем касании двух окружностей находится на окружности радиуса, равного сумме радиусов Rи RC. Поэтому из точки О радиусом (R+ RC) проводим дугу до пересечения с новой прямой (линией центров). Получим точку ОС, которая является центром сопряжения.

Затем находим точки касания. Первая точка касания  - это перпендикуляр, опущенный из центра сопряжения на заданную прямую. Вторую точку сопряжения находим, соединив центр сопряжения ОС и центр окружности R. Точка касания будет лежат на первом пересечении с окружностью, так как касание внешнее.

Затем из точки ОС  радиусом RC  20 соединяем точки сопряжения.

 

РТ: стр. 32. Задание 2.  Сопряжение окружности и прямой. Касание внутреннее. RC60.

 

Параллельно заданной прямой проводим линию центров на расстоянии 60 мм. Из точки О радиусом (Rс- R) проводим дугу до пересечения с новой прямой (линией центров). Получим точку ОС, которая является центром сопряжения.

Из ОС  проводим прямую через центр окружности точку О и перпендикуляр на заданную прямую. Получаем две точки касания. И затем из центра сопряжения радиусом 60 мм соединяем точки касания.