«Числа правят миром». Эти слова принадлежат древнегреческому математику Пифагору. Его именем названа теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. с2=а2+b2. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3,4,5 является прямоугольным:

52 = 32 + 42 (египетский треугольник). Иначе говоря, числа 3,4,5- корни уравнения х2 +у2 =z2. Поэтому целью исследования стало: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений?

Для этого были определены следующие задачи: изучить литературу о пифагоровых числах, определить вид пифагоровых чисел, решить уравнение х2 +у2 =z2 в компклесных числах, решить уравнение х2 +у2 =zn.

      Была выдвинута гипотеза: куб любого компклесного уравнения х2 +у2 =z3 приводит к решению в целых числах уравнения х2 +у2 =zn для любого n.

В ходе исследования был приведен способ нахождения пифагоровых чисел, который позволил сформулировать теорему: каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов.

     Решены уравнения х2 +у2 =z2 , х2 +у2 =zn. На основании полученных результатов исследования  доказано, что любое компклесное число a+ bi с целыми a и b является числом, производящим пифагоровы числа. Все это позволило сделать вывод о том, что рабочая гипотеза верна.

    Подчеркнем главное - уравнения решены, мы знаем способы вычисления всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников.