Внеклассная деятельность

                          

 

          

 

 

 

 

 

                          Математика

         в искусстве и живописи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 Содержание

 

 

1.     Введение …………………………………………………….……3

2.     Геометрия на службе у живописи…………………………….....4

·         Линейная перспектива…………………………………………...5

·         Симметрия и асимметрия…………………………………….….7

·         Золотое сечение…………………………………………………..9

 3.   Математика в архитектуре……………………………………..10

4.      Заключение………………………………………………………12

5.     Список литературы……………………………………………...13

       

     

                     

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                     2

     Введение

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Каждая эпоха – будь то времена античной цивилизации, средние века, эпоха Возрождения или ХХ век – оставляет свой след, обогащает культуру новыми знаниями, но всегда животрепещущей, манящей своей глубиной остается проблема единства алгебры и гармонии красоты и пользы, формы и содержания.

Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже перспективу. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.  Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

 На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?»  Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни.

Все вышеперечисленные факторы и обусловили актуальность моего исследования.

Целью работы является изучение связи между искусством и математическими науками.

В соответствии с поставленной целью решались следующие основные задачи:

 - рассмотреть несколько геометрических законов, содержащихся в живописи (в частности композиции);

- понять важность математических законов и расчетов при построении архитектуры.

Методы исследования:

- обработка, анализ научных источников;

- анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Объект исследования –  тесная связь искусства с математическими науками. 

                                                                            3     

 Геометрия на службе у живописи

Геометрия есть познание всего сущего, поскольку приближает разум к истине

Платон

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в не разрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой, В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Это относится в конечном счете также к современным абстрактным геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной отвлеченности вырастают из той же геометрической интуиции.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспри нимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эсхера, они образуют своего рода  художественно-геометрический фильм, дающий зрите лю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

Так что же от истинного искусства всегда присутствует в истинной геометрии? Словами выразить это затруднительно. Но вглядитесь внимательно в работы художника, прочтите в ней о вышедших в последние годы трудах, где так неожиданно и оригинально использованы геометрические идеи.

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                       4

 Линейная перспектива

Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях: в области науки (строительстве, технике) и в живописи. История свидетельствует, что египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по изображениям - прототипам современных чертежей. Начала геометрии, и в частности перспективы, можно встретить в трудах древнегреческих и римских ученых. Так, первоначальные сведения о построении изображений с применением перспективы обнаружены в работах древнегреческого ученого Эсхила (525-456 гг. до н.э.). Он был большим знатоком наблюдательной перспективы, в развитие которой внес значительный для того времени вклад.
Большое место построениям изображений в перспективе уделено в трактате "О геометрии" крупнейшего ученого, естествоиспытателя и мыслителя Древней Греции Демокрита (около 460-370 гг. до н. э.)

Известный древнегреческий ученый и математик Эвклид, живший за 300 лет до нашей эры, в своих сочинениях в разделе "Оптика" сформулировал впервые правила наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых и выпуклых зеркал.
Способы построения перспективных изображений были изложены в трактате "Десять книг об архитектуре" древнегреческого ученого и архитектора Витрувия (конец I в. до н. э.). Без теоретических обоснований он изложил правила построения перспективных изображений, а также составления архитектурно-строительных чертежей, содержащих план и фасад зданий. Им были обобщены труды Эсхила, Демокрита и других древнегреческих ученых, внесших большой вклад в развитие наблюдательной перспективы.
Видимость предметов, передачу их объемной формы, цвета, освещенности и отражения на них преломленного света, образование теней рассмотрел известный древнегреческий астроном Птолемей (II в. н.э.) в своем сочинении по наблюдательной перспективе, состоящей из пяти книг. Однако теоретических положений и правил построения перспективных изображений он не вывел.

Закономерностями построения изображений окружающей действительности, близкой к зрительному восприятию, занимались и художники. Живопись древних времен не сохранилась, и неизвестно, какой она была в те далекие времена. Но высокое развитие архитектуры, скульптуры, дошедшей до наших дней, и труды древних ученых-математиков, писателей и философов дают основания предположить, что перспектива в творчестве художников занимала важное место.

Рассмотрим самый распространенный вид перспективы:

       Линейная прямая перспектива - вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на

                                                         5

 линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Теория линейной перспективы впервые появилась у Амброджо Лоренцетти в XIV веке, а вновь она была разработана в эпоху Возрождения (Брунеллески, Альберти), основывалась на простых законах оптики и превосходно подтверждалась практикой. Прямая перспектива долго признавалась как единственное верное отражение мира в картинной плоскости. С учетом того, что линейная перспектива — это изображение, построенное на плоскости, плоскость может располагаться вертикально, наклонно и горизонтально в зависимости от назначения перспективных изображений. Вертикальная плоскость, на которой строят изображения с помощью линейной перспективы, используется при создании картины (станковая живопись) и настенных панно (на стене внутри помещения или снаружи дома преимущественно на его торцах). Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи — росписи на наклонных фризах внутрипомещения дворцовых сооружений и соборов. На наклонной картине в станковой живописи строят перспективные изображения высоких зданий с близкого расстояния или архитектурных объектов городского пейзажа с высоты птичьего полета. Построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости применяют при росписи потолков (плафонов). Известны, например, мозаичные изображения на овальных плафонах станции метро «Маяковская» художника А. А. Дейнеки. Изображения, построенные в перспективе на горизонтальной плоскости потолка, называют плафонной перспективой.

           Линейная перспектива на горизонтальной и наклонной плоскостях имеет некоторые особенности, в отличие от изображений на вертикальной картине.

В наше время доминирует использование прямой линейной перспективы, В большей степени из-за большей «реалистичности» такого изображения и в частности из-за использования данного вида проекции в 3D-играх.

                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                             6

 

 Симметрия и асимметрия

 

         Еще одним фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия".

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:

"Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

           Что же такое "симметрия"? Когда мы смотрим в зеркало, мы наблюдаем в нем свое отражение - это пример "зеркальной" симметрии. Зеркальное отражение - это пример так называемого "ортогонального" преобразования, изменяющего ориентацию.

К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

         Осью симметрии  называется такая прямая линия, вокруг которой симметричная фигура может быть повернута несколько раз таким образом, что каждый раз фигура "самосовмещается" сама с собой в пространстве. Число таких поворотов вокруг оси симметрии называется порядком оси.

Наконец, центром симметрии  называется такая особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через точку прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. "Идеальным" примером такой фигуры является шар, центр которого и является его центром симметрии.

        Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Так, например, молекула метана СH4 обладает симметрией тетраэдра. Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла.

        Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определенных операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований. Например, закон тяготения действует в любой точки

                                                                                    

 

                                                                                             7

 

пространства, то есть он является инвариантным по отношению переноса системы как целого в пространстве.

       По мнению, ученого-энциклопедиста академика В.И. Вернадского, "симметрия ... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик". На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии:  "зеркальная" и "лучевая" (или "радиальная") симметрии.  "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка" или "билатеральной симметрией". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.

        Еще в 19-м веке исследования в этой области привели к заключению, что симметрия природных форм в значительной степени зависит от влияния сил земного тяготения, которое в каждой точке имеет симметрию конуса. В результате был найден следующий закон, которому подчиняются формы природных тел:

"Все то, что растет или движется по вертикали, то есть вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой ("ромашко-грибной") симметрии. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии - "симметрии листка" (одна плоскость симметрии)".

         Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии.

        Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий

В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины.
Симметрия в искусстве основана на реальной действительности. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

В современной науке интерес к симметрии и ее проявлениям во всевозможных областях природы, науки и искусства исключительно возрос и

отражением этого интереса стало учреждение в 1989 г. Международного общества для междисциплинарного изучения симметрии (ISIS-Symmetry), что "стало началом значительного интеллектуального движения".

                                                     8

        «Золотое сечение»

 

       Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением". О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все.

      Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

       Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

       Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX века. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”. Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках», являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета.

        В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников,  скульпторов и архитекторов.  В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались,  чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой  пропорции.

 

 

 

 

 

 

                                                                                    9

               Математика в архитектуре

 «Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Кроме того, заметим, что человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказывание Ле Корбюзье. В своей книге «Архитектура ХХ века» он писал: «Человеку необходим порядок; без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядке, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения».

Известно, что принципы симметрии являются руководящими принципами для любого архитектора. В одних случаях архитектор ограничивается примитивной симметрией прямоугольного параллелепипеда, в других – использует более утонченную симметрию, как например, в случае здания «Совета Экономической Взаимопомощи» в Москве. Правильнее говорить не о «примитивной» или «уточенной» симметрии, а о том, каким образом тот или иной архитектор решает вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией. Тадж-Махал

         Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов. Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией. Архитектурные формы собора как бы накладываются друг на друга, и завершаются центральным шатром. И все это настолько гармонично, что вызывает ощущение праздника. «При первом взгляде на собор, - пишет М. А. Идьин в книге «Москва», можно подумать, что количество архитектурных форм, примененных в нем, необычайно велико. Однако скоро становится ясно, что мастера воспользовались всего лишь двумя архитектурными мотивами – формой восьмерика и полукружия. Если первая определяет граненные формы основных объемов, то вторая представлена значительным количеством вариантов, начиная от широких и спокойных арок подклета и кончая заостренными кокошниками». Получается, что симметрия собора проявляется в повторении (сохранении) двух основных мотивов при переходе от одной части сооружения к другим.          Не просто сохранение, но варьирование или, лучше сказать, развитие.

    Два основных архитектурных мотива не просто повторяются в разных храмах собора, но как бы развиваются по мере того, как взгляд зрителя обегает все сооружение.

                                                      10

Перед нами в высшей степени талантливое решение проблемы симметрия – асимметрия.

      Очевидно, что без своей удивительной асимметрии собор Василия Блаженного немедленно утратил бы всю свою праздничную индивидуальность. По-видимому, невозможно заранее рассчитать столь удачное решение проблемы симметрия – асимметрия. Это подлинное искусство. Оно определяется талантом зодчего, его художественным вкусом, его пониманием прекрасного.

       Можно сказать, что как искусство архитектура начинается именно тогда, когда удается отыскать изящное, гармоничное и оригинальное соотношение между симметрией и асимметрией. Впрочем, в современном массовом строительстве однотипных жилых зданий вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией, наверное,  роли не играет. В наше время эта проблема переходит в иную плоскость. Теперь она решается обычно не на уровне отдельного здания, а на уровне целого квартала или даже целого города.

       Раньше архитектурным ансамблем, обладающим индивидуальностью, являлось отдельное здание (храм, дворец, манеж и т. п.). Теперь же все чаще в роли архитектурного ансамбля выступает группа зданий, например квартал. Именно на этом уровне современные МГУ градостроители должны теперь решать проблему симметрия – асимметрия. Примером удачного решения этой проблемы в современных условиях может служить застройка стандартными зданиями Вернадского в Москве.

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                       11

 

Заключение

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.

Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        12

 

 Список литературы

1. Л. В. Тарасов «Этот удивительно симметричный мир».

2. И. Н. Данкова, Т. Е. Бондаренко, Л. Л. Емелина, О. К. Плетнева «Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Общие положения, структура, портфолио, программных курсов».

3. М. В. Величко «Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся»

4. Н. М. Карпушина «Научно-практический журнал Математика для школьников №3,2005 год».

5. И. Стюарт «Какой формы снежинка? Магические цифры в природе».

6. Художественная галерея № 110,Утрилло. Журнал.

7. Художественная галерея № 12, Дали. Журнал.

8. И. Т. Волкотруб «Основы комбинаторики в художественном конструировании».