Раздел 1.Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на уроках математики и во вреурочной деятельности (кружок, элективный курс, научное общество)

 «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным»

                                                                               Б. Паскаль

Мы считаем эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики.

 История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям.

 

1.1.         Исторический материал по теме «Софизмы и парадоксы».

             "О сколько нам открытий чудных 
                 готовит просвещенья дух: и опыт,          сын ошибок трудных и гений, прадоксов друг..."

                                                                  А.С.Пушкин
        Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы непреодолимые, преграды, перед которыми были бессильными умозаключения. Древнегреческий философ Диодор Кронос (примерно 307 год до н.э) не решив одну из древнейших логических задач - парадокс Эвклида, умер от разочарования, а другой философ Фигет Косский, познав такую же неудачу, покончил жизнь самоубийством. Древнегреческие ученые сталкивались с такими задачами в математике. Они прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм образования таких загадок. Было установлено, что наши рассуждения тоже подчинены определенным законам (законам логики), нарушение которых обесценивает результаты, добытые в этих рассуждениях. Неразрешенность задач, с которыми встретились Диодор Кронос и Фигет Косский, объясняется как правило, нарушением законов логики. Поэтому уже тогда остро встал вопрос о системе "профилактических приемов" - определенных правил с целью устранения логических ошибок. Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору "Начал" - Эвклиду (IV в до н.э.).  Он создал удивительный сборник "Псевдарий", где помещая разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Эвклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов. Остается сожалеть, что этот труд не дошел до нас. Зато требовательность Эвклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей. Они собрали и опубликовали большую коллекцию математических софизмов и парадоксов.    В наше время ученые продолжают это дело совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искустнейше замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому,  кто разгадал его, так как это - маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений. Сборники математических софизмов и парадоксов были всегда популярными. Так в 1846 году М.Г.Чернышевский писал брату Александру:"... сижу 11 недель и 3 дня и никак не разгрызу орешек. Нe поможешь ли мне? Я дал слово не вставать со стула, пока не решу эту задачу. Но что-то не удаётся; помоги хоть ты, лишь на тебя надежда. Вот она. Квадрат любой стороны в любом треугольнике равен сумме квадратов двух других сторон." М.Г.Чернышевский поместил в письме рисунок и доказательства, которые привели к интересному софизму (этот софизм приведен далее).

 Софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. Софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука.

Парадокс – мнение, рассуждение, резко расходящееся с общепринятыми суждениями, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов.  

2. Математические софизмы

 

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное рассуждение за истинное. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова). Софизм происходит также от греческого слова ("софизм" означает "измышление", "хитрость"). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка), доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

 

В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг»). Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях. В.С. Библер замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах – от чисто словарного и повседневного (красиво звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее осознанного в парадоксах теории множества». Трактование парадокса как ошибки иногда приводит к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают ошибки, но несколько иного рода. А.В. Сухотин пишет: « Парадокс рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания. Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение логично, проведено правильно и, тем не менее, дает сбой». Другие – наоборот «делаются умышленно с намерением ввести кого-то в заблуждение».  Парадоксальные суждения привлекают внимание исследователей, занимающихся математической логикой. Их интерес обращен к таким суждениям, которые, несомненно, абсурдны, а в то же время, казалось бы, доказаны с безупречной логикой.

3. Сравнение софизмов и парадоксов, как логических операций

3.1. Из истории софизмов.

     В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило к изобретению хитроумных "доказательств" неверных утверждений. Такие "доказательства" называются софизмами, поскольку их часто использовали софисты - учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Т.к. парадоксы чаще всего открываются, а не придумываются, сложно рассказать что-либо об их истории. Однако мы можем утверждать, что первыми людьми кто вообще оперировал понятием парадокс были те же философы Древней Греции.

Первые парадоксы были известны уже в глубокой древности, существуют и современные парадоксы. Некоторые из этих противоречий удалось решить путём создания новых теорий, переосмысления устоявшихся, но несовершенных законов. Другие – так и остались неразрешенными. Считается, что ученые относятся к парадоксам с неприязнью, их называют «патологиями» науки и стремятся как можно скорее от них избавиться. Однако это не всегда удаётся. В настоящее время не существует науки, в которой бы никогда не возникала парадоксов. Их находили в психологии, лингвистики, физике и даже в таких точных науках как логика и математика.

Сейчас сложно подсчитать, как много существует парадоксов: они многочисленны, разнообразны по своей природе и структуре. Поэтому ученые пытаются их структурировать, объединить в какую-либо систему.

 

Раздел 2. Методические рекомендации по использованию исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы».

 

 (Указать темы уроков, на которых данный материал целесообразно использовать, этапы урока, формы преподнесения исторического материала, виды учебной деятельности, планируемые образовательные результаты и др.)

 

   Данный материал целесообразно использовать на заключительных уроках в 5-6 классах и возвращаться к нему далее в 7-9-10-11 классах по спирали от более простого к сложному. В 5 классах на основе понятийного, исторического материала с простыми примерами (см. презентацию), далее усложнять по мере усвоения новых знаний и умений. В 7-9 классах привести классификацию софизмов и парадоксов. Учить составлять и придумывать их самих, доказывать или опровергать.

Цель урока: познакомить учащихся с понятиями софизма и парадокса; историей их возникновения;  узнать,  в чем их отличия; понять, как найти в них ошибку на конкретных примерах.

Задачи урока:

- развивать  креативность мышления,  логику, творчество.

- активизировать познавательную активность к математике.

- расширять кругозор учащихся.

Тип урока: актуализация знаний или «открытие» новых знаний /проблемно-ориентированный урок/

Формы преподнесения исторического материала: сообщение учащихся, презентация проекта, работа творческих групп.

Виды учебной деятельности:

- уметь отличать софизм от парадокса, выстраивать самостоятельно алгоритм поиска ошибки, оперируя своим математическим аппаратом знаний;

- выдвигать гипотезы;

- решать задачи, анализируя и осмысливая их текст;

- извлекать необходимую математическую информацию, строить логическую цепочку рассуждений.

Планируемые образовательные результаты:

- представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития;

- умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме;

-точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и  символику.

 

Раздел 3.  Использование исторического материала по теме

 «Софизмы и парадоксы» во внеурочное время.

 Форма организации внеурочной деятельности – занятие математического кружка (элективный курс).

    Формы преподнесения исторического материала: сообщение учащихся, показ  презентации, результаты проектной деятельности.

Виды учебной деятельности:

– познакомить учащихся с понятиями софизма и парадокса, расширить знания о них на основе классификации, выявить их отличия и отношения к истине;

– формировать навыки самостоятельной работы с большим объемом информации;

– формировать умение видеть проблему и находить пути ее решения; применять базовые знания для решения конкретных задач;

– развитие креативности мышления, творчества, эмоциональной окраски отношения к предмету  при работе с софизмами и парадоксами;

– способствовать расширению  научного мировоззрения,  открыть новые грани человеческой культуры, связанные с поиском парадоксов в жизни; 

– научиться представлять результаты труда с использованием современных информационных технологий.

Планируемые образовательные результаты:

– приобретут знания о великих ученых и мыслителях, софизмах и парадоксах; их многообразии и классификации; как часто они встречаются в окружающем нас мире;

– расширят свой инструментарий способов доказательств и логических рассуждений в различных сферах современной науки и искусства;

 

– актуализируют знания в области информационно-коммуникационных технологий, интернет-технологий, программирования.