Урок по теме: «Правильные многогранники». 

      Тип урока: изучение нового материала.

      Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.

Цель урока: дать понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, рассмотреть свойства многогранников, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников.

     Задачи урока:

1.    Формирование пространственных представлений, математической культуры, культуры общения.

2.    Развитие практических навыков студентов по изготовлению правильных многогранников.

3.    Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий и осуществление межпредметных связей.

4.    Воспитание  общетрудовых умений, графической культуры, умения работать в группе.

Оборудование: компьютер, проектор, презентации (приложение 1), карточки (приложение 2), модели правильных многогранников.

Подготовительная работа: студенты готовят рефераты и сообщения на 5-6 минут по предложенным темам под руководством преподавателя с презентацией.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2. Целеполагание (5 минут). Слайд 1 (фигуры многогранников)

Преподаватель: Есть в курсе геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему «Многогранники», с которой мы с Вами начали знакомство несколько уроков назад.

Вопросы: Слайд 2 (вопросы и ответы)  

1. Какую фигуру называют многогранником? (часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками)

2. Какие многогранники мы рассматривали? (призма, параллелепипед, куб, пирамида, тетраэдр, усеченная пирамида)

3. Назовите многогранники, которые я буду показывать. ( призмы, пирамиды, параллелепипед, куб).

Есть такие особенные многогранники, которые мы с вами сегодня рассмотрим. Давайте постараемся сейчас дать название группе таких многогранников. Показываю многогранники и задаю вопросы об их виде: какие плоские фигуры ограничивают многогранники? (правильные треугольники, правильные четырехугольники, правильные пятиугольники)

ИТАК: как вы думаете, как назвать такие многогранники? (правильные)

Запишите тему нашего занятия: Слайд 3-4

«ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ»

Преподаватель: "Правильные многогранники", здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? И многие - многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы "Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

3. Изучение нового материала.

 Объяснение нового материала учителем. (20 минут).

Слайды 5-10(определение правильный многогранника; тетраэдр; гексаэдр; октаэдр; додекаэдр; икосаэдр)

          Преподаватель: Название "правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Попытаемся дать определение правильным многогранникам:

беседа: показываю правильные многогранники и задаю вопросы:

1.     это фигура, которая ограничена…? (правильными многоугольника);

2.     сколько ребер исходит из одной вершины? (одинаковое количество).

Слайд5

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Слайд6-7

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. Вершин – 4, ребер-6, граней-4.

Слайд8-9

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов). Вершин – 8, ребер-12, граней-6.

Слайд10-11

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников. Вершин – 6, ребер-12, граней-8.

Слайд12-13

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Вершин – 20, ребер-30, граней-12.

Слайд14-15

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Вершин – 12, ребер-30, граней-20.

Преподаватель. Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и сейчас мы перенесемся в Др.Грецию и узнаем какой след оставили правильные многогранники в философской карте мира. Сообщение студента по теме: «Правильные многогранники в философской картине мира Платона» (6 минут). Слайды 16-18.

Слайд16

   Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых "Начал” Евклида, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«додека» - 12

«икоса» - 20

Слайд17

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Слайд №18

Такие изображения правильных многогранников были представлены Платоном. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации./спасибо за внимание/

Преподаватель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

Доклад студента по теме: Модель Солнечной системы–«Кубок Кеплера» (12 минут). Слайды 18-30.

Слайд №19

Прежде чем перейти непосредственно к Солнечной системе Кеплера, я хотела бы еще раз напомнить, что многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.

Слайд №20

Многогранники бывают произвольные, правильные и полуправильные.

Слайд №21

Правильный многогранник – это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. Например, у меня на рисунке изображен октаэдр, он состоит из восьми равносторонних треугольников и из каждой вершины исходит четыре ребра.

Слайд №22

Многие ученые занимались исследованием многогранников, такие как Эвклид, Архимед, Кеплер и многие другие. Они высказывали разнообразные теории и гипофизы, с некоторыми из них я бы хотела вас познакомить.

Слайд №23

Космологическая гипотеза Кеплера.

Кеплер попытался связать со свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной системы.

Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Слайд №24

Теория Макарова и Морозова о икосаэдро-додекаэдровой структуре Земли.

Доклад студента по теме: «Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли» (6 минут).

Слайд №24-25

В начале 80-х гг.  московские инженеры В. Макаров и В. Морозов высказали свою гипотезу. Они считали, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

     Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. 

     Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место, однако в наше время это научно не доказано.

Слайд №26-27

А вот открытие правильных многогранников по праву принадлежит Теэтету Афинскому. Именно он дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и, собственно говоря, первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Слайд №28

Правильные многогранники окружают нас повсюду. Искусство, наука, природа, архитектура – вот далеко не полный перечень сфер, в которых они употребляются.

Слайд №29

Закончить я бы хотела словами Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам  искусства.»

Преподаватель: А сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам.

4. Практическая работа (15 минут). Слайд 30-33.

Работа в группах. Деление на группы производится заранее, учитывая уровень подготовки детей, так же их желание. Задания дифференцированные. Более подготовленные студенты входят в 1 и 2 группу, 3 и 4 группа- студенты, которые хорошо моделируют.

Слайд 30 (таблица для доказательства ПУСТАЯ)

1    группа- доказать, что правильных многогранников 5. Для этого выдается таблица, в которую необходимо внести вычисления по доказательству.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Слайд 31 (таблицы для заполнения количества вершин, ребер, граней, ПУСТАЯ)

2      группа-заполнить таблицы и сделать вывод.(модели).

Слайд 32 (таблица площадей правильных многогранников, ПУСТАЯ)

3 группа-вывести формулы полной поверхности правильных многогранников.

Слайд 33 (развертки правильных многогранников)

4      группа-выполняет модели правильных многогранников.

5.    Отчет групп о работе (15 минут). Слайд 34-38.

Один представитель группы отчитывается о результатах у доски (3-4 минуты для каждой группе).

студенты делают соответствующие записи в тетради.

- формулы площадей;

- теорему Эйлера.                  

6. Дополнительные сведения.

Преподаватель: Как уже говорила Даша правильные многогранники применяются в разных сферах деятельности человека. Об одном из направлений нам расскажет Анжела.

Доклад студента по теме: Многогранники в искусстве» (5 мин) Слайды 39-43

Слайд 39

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

Слайд 40

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высоко симметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности. Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жестких ребер и методом сплошных граней.

Слайд 41

Знаменитый художник, увлекавшийся геом