Практическая работа №3,4

Тема: Перевод чисел и арифметические действия в позиционных системах счисления.

Цель работы: научиться представлять числа в различных системах счисления, научиться выполнять арифметические действия  в различных системах счисления.

Студент должен

знать:

    принципы представления чисел в позиционных и непозиционных системах счисления;

    правила выполнения арифметических операций в позиционных  системах счисления;

уметь:

    переводить числа из одной системы счисления в другую.

 

Теоретическое обоснование.

1. Система счисления.

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями:

1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

      Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета.
  Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

·               в двоичной системе:         0,   1,   10,   11,   100,   101,   110,   111,   1000,   1001;

·               в восьмеричной системе: 0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   10,   11.

 

2. Системы счисления, используемые  специалистами  для общения с компьютером

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

·                    двоичная (используются цифры 0, 1);

·                    восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

·                    шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10-я

2-я

8-я

16-я

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

 

10-я

2-я

8-я

16-я

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

19

10011

23

13

 

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
3. Перевод  целого   число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления.

Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

75   2

   1   37 2

         1  18 2_

                0   9  2

                     1   4 2

                          0  2   2                             

                             0   1

7510=10010112

 

      75 8                                                                

       3   9  8

1   1

    

7510=1138

  

            75   16

 11  _4

 

7510=4316

 

  Ответ: 7510 = 1 001 0112   =  1138  =  4B16.     4. Перевод  числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную.

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1   ...  a0  , a-1 a-2   ...   a-m)q   сводится к вычислению значения многочлена 

x10 = an  qn +  an-1  qn-1   +   ...   +  a0   q0   +   a-1   q -1   +   a-2   q-2   +     ...     +  a-m  q-m    
средствами десятичной арифметики. 

Примеpы:

1.     Переведем число 10011,0101 из двоичной системы в десятичную.

100112=1*24+0*23+0*22+1*21+1*20  =1910

2.     Переведем число 105,128 из восьмеричной системы в десятичную.

1058=1*82+0*81+5*80=6910

 

3.     Переведем число А5,Е216 из шестнадцатеричной системы в десятичную.

А516=А*161+5*160=10*16+5*1=165

 

5. Выполнение арифметических действий в разных системах счисления.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

    С л о ж е н и е.Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Сложение в двоичной системе

 

 

 

 

 

 

 

 

    Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной системе

   

 Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

     

Шестнадцатеричная: F16+616

                          

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. 
  Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316

                       

Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. 

  Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

 
Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

 

Ход работы:

1.     Рассмотреть  предложенные примеры;

2.     Выполнить практическое задание по вариантам;

3.     Оформить отчет.

4.     Ответить на контрольные вопросы по указанию преподавателя.

 

Практические задания:

Вариант 1.

Задание 1.

Переведите числа в десятичную систему

 а) 10110112  б) 5178; в) 1F16; 

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную       

25910;   

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:
а) 10111012 и 11101112;        б) 4378 и 6758;     в) 5A116 и 27F16;

Задание 4.

Вычтите:

а) 101002-1112       б) 2308- 1558         в) 3116- 1А16             

 

Вариант 2.

Задание 1.

Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы

а) 101101112;        б) 10108;             в) ABC16; 

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод     

  42910;

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111012 и 1010112;                          б) 1658 и 378;         в) 1А916 и 2ВC16;

Задание 4.

Вычтите:            

а) 11012-10112 из б) 1028-478          в) 2А3016- F9E16

                            

Вариант 3.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 111000012;            б) 12348;           в) 101016;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод       

88110;     

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 101112 и 110112;                           б) 5758 и 1468;   в) A5B16 и E7F16;

 Задание 4.

Вычтите:            

а) 100102-11112   б) 5678 -1018;          в) B9216-19F16 

 

Вариант 4.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 10001102;             б) 348;               в) А416;

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод       

37210

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:                   

а) 10111112 и 1101012;                     б) 6178 и 4078;   в)2 E916 и 5F16.

Задание 4.

Вычтите:            

а) 1110112- 100012                              б) 30018-16548          в)567816- ABC16

 

Вариант 5.

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:                       

а) 110100112;      б) 12318;             в) 1DE16.

Задание 2.

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратный перевод       

61210.

Задание 3.

Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а)11001012 и 110102       б)5628 и 1278      и) А1216 и FDA16

Задание 4.

Вычтите:

а) 101002-11012                б)1238-568               в)A2D16-17F16
 

Содержание отчета:

1.     Название и цель работы.

2.     Результат выполнения практических заданий.

3.     Ответы на контрольные вопросы по указанию преподавателя.

 

Контрольные вопросы.

1.     Какие системы счисления вы знает?

2.     В чем особенности двоичной системы счисления?(Таблица)

3.     В чем особенности восьмеричной системы счисления? (Таблица)

4.     В чем особенности шестнадцатеричной  системы счисления? (Таблица)

5.     Как осуществляется связь ме