Теорема Виета.(8 класс)

Цель: изучить теорему Виета и обратную ей; показать учащимся применение этих теорем для решения квадратных уравнений и для проверки найденных корней.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи:

-обучающая: установить существование теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета; раскрыть практические значения этих теорем; научить составлять квадратные уравнения по данным значениям их корней; по записанному уравнению находить сумму и произведение корней;

- развивающие: развитие способностей анализировать, проводить сопоставления, обобщать, выдвигать гипотезы, проводить наблюдения, планировать деятельность;

- воспитывающие: воспитание культуры речи, построение плана ответа; формирование умений осуществлять взаимосотрудничество, взаимоконтроль, воспитать интерес к предмету, уважение к истории математики.

План урока

1) Организационный этап.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Актуализация знаний.

4) Первичное усвоение новых знаний.

5) Первичная проверка понимания.

6) Первичное закрепление.

7) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

8) Рефлексия (подведение итогов занятия).

Ход урока

1.Организационный этап.

Девиз урока: вся математика – это, собственно, одно большое уравнение для других наук.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Теоретические вопросы:
- Какую тему мы изучали на последних уроках?
- Какие уравнения называются квадратными? Сформулируйте определение квадратного уравнения. ах2 + bx + c = 0, а0.

-Записать формулы корней квадратного уравнения ()

- Какие вы помните способы решения квадратных уравнений? Приготовить ромашку (выделение квадрата двучлена, графический, формулы корней квадратного уравнения и ……Теорема Виета). Учащимся предлагается разгадать кроссворд для определения темы урока.

Вопросы: слайд

1)квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице (приведенное);какой вид имеет приведенное квадратное уравнение?

• ( х2 + px + q = 0)

2) подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения

( дискриминант);

3) один из видов квадратного уравнения (неполное);

4) а и в в квадратном уравнении (коэффициенты).

1

п

р

и

в

е

д

е

н

н

о

е

2

д

и

с

к

р

и

м

и

н

а

н

т

3

н

е

п

о

л

н

о

е

4

к

о

э

ф

ф

и

ц

и

е

н

т

ы

Запишем в тетрадях число и тему урока. Для чего мы будем изучать теорему Виета……..Учителю после ответов учащихся сформулировать цель урока.

3. Актуализация знаний.

Проведем небольшую исследовательскую работу. Разобьемся на 6 вариантов и решим следующие уравнения: слайд

№

Квад. уравнение

Х1

Х2

Х1+ Х2

Х1 Х2

1.

Х2-7х+12=0

3

4

7

12

2.

Х2+8х+15=0

-3

-5

-8

15

3.

Х2+6х-7=0

1

-7

-6

-7

4.

2Х2-5х+2=0

2

0,5

2,5

1

5.

3Х2+2х-1=о

-1

6.

Х2-3х-10=0

5

-2

3

-10

В это время два сильных ученика находят сумму и произведение корней квадратного уравнения.

Учащиеся анализируют и делают вывод.

4. Первичное усвоение новых знаний.

Учитель формулирует теорему Виета:

Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0.Тогда сумма корней равна -, а произведение корней равно

х1 + х2 = -,

х1 х2 = ,

Доказательство проверим устно у тех учащихся, которые работали у доски.

Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0. В этом случае получаем:

Х1 • х2 = q, а х1 + х2 = – p, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство теоремы проводят ученики по желанию. Дано: х2 + px + q = 0,

D > 0, где х1 и х2 его корни.

Доказать:

Х1 • х2 = q
х1 + х2 = – p

Доказательство:

Вывод записываем в тетрадь

Историческая справка. (1 мин)

5. Первичная проверка понимания.

№29.1 устно, стр.173

№29.2(а) записать в тетрадь решение.

Слайд (устно)

1.Х2 + 41х – 371 = 0

2.Y2 – 37х + 27 = 0

3.Х2 – 210х = 0

4.Y2 – 19 = 0

5.2х2 – 9х – 10 = 0

6.5y2 + 12х + 7 = 0

7.3y2 – 10 = 0

6. Первичное закрепление.

№ 29.9 (б), №29.10(б), стр.173-174.

Слайд

Один из корней уравнения Х2 + кx + 45 = 0, равен 5. Найдите х2 и к.

Решение:

Ответ: к=-14,х2=9

Слайд

Не решая уравнения, определите знаки корней в уравнениях:

Х2 – 5х + 14 = 0 Д, корней нет

Х2 + 5х + 14 = 0 Д корней нет

Х2 + 5х – 14 = 0 х1, х2, |x1||x2|

Х2 – 5х – 14 = 0 х1, х2, |x1||x2|

Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета.

Если х1 и х2 таковы, что

Х1 • х2 = q
х1 + х2 = – p

то х1 и х2 являются корнями уравнения х2 + px + q = 0.

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, прочитать дома.

Выполним закрепление теоремы, обратной теореме Виета.

Слайд

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:

х2- 7х+10=0

Можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась числу 7. Это разложение очевидно:10=52, 7=5+2. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями. Ответ: 2;5.

№29.26(а;г)

Выполнить устно.

Подберите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета.

Х2 – 17х – 18 = 0

Х2 + 17х – 18 = 0

Х2 + 11х + 18 = 0

Х2 + 7х – 18 = 0

Х2 + 9х + 18 = 0

Выполнить самостоятельно.

1. Подбором найти корни уравнения:

Х2 – 13х + 36 = 0 (х1=9, х2=4)

Х2 + 15х + 36 = 0 (х1=-12, х2=-3)

Х2 – 16х – 36 = 0 (х1=18, х2=-2)

2. Составить квадратное уравнение, если

Х1 = – 2, х2 = 7 (х2-5х-14=0)
х1 = – 3, х2 = – 9 (х2 +12х+18=0)

Решение проверить, используя обратную связь.

7.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

П.29 учить,№29.2(в),29.4(в),29.6(в,г),29.9(в), 29.10(г),29.26(б,в).

8. Рефлексия (подведение итогов занятия).

ü Что нового мы сегодня узнали на уроке?

ü Для чего нужна теорема Виета? Ответ в виде ромашки.

1.Найти сумму и произведение корней.

2.По данным двум корням составлять уравнение.

3.Зная один из корней найти другой.

4.Определять знаки корней уравнения.

5.Позволяет подбором находить корни квадратного уравнения.

• ü Что для вас было трудным на уроке?
• ü Получилось ли реализовать цель урока?