1. Дробно – линейная функция и ее график.

С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x →∞) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x→0) значения функции неограниченно возрастают (y→∞). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике это свойство выражается в том, что точки гиперболы, по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат, неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда |x| →∞, или к оси y, когда|x|→0. Такую прямую называют асимптотами кривой.

 

Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y.

Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций.

Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций.

Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2).

Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой

.

Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:

Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой

.

У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.

 

 

 

 

Вообще функцию, заданную формулой вида , где
х – переменная, а, b, c, d – заданные числа, причем с≠0 и
bc-ad≠0, называют дробно-линейной функцией.

Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и
bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то

.

Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и d и подставив его в формулу, получим:

.

Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида , во втором случае – константу .

Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида .

Пример 2.Построим график функции y =.

В дроби  выделим целую часть, и представим функцию в виде у = 2 - Таким образом, надо построить график функции у = 2 - . Он получается смещением гиперболы у = -  на одну единицу вправо и на две единицы вверх. График данной функции имеет вертикальную асимптоту х = 1 и горизонтальную асимптоту у = 2.

 

 

 

Пример 3.

Рассмотрим еще один способ построения графика функции у =

Для этого найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Предположим, х=0 и определим точку пересечения с осью ординат у =  2. Теперь предположим, у = 0, получим уравнение 0 =  или 0=х+4 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = -4.  Построим точки А(0;2) и В(-4;0).

Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т.е. х+2=0, откуда х=-2. Поведение функции при больших значениях х (|х|→∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числители дроби     можно пренебречь числом 4, в знаменателе числом 2. Тогда получаем горизонтальную асимптоту у =  =1. Построим асимптоты графика х = -2 и у = 1.

При построении графика функции учтем:

1)    Ветви графика симметричны относительно точки Е пересечения асимптот;

2)    График функции не пересекает асимптоты.

 

 

Пример 4.

  Построим график функции у = .

 

 

Раскроем знаки модуля и получим: у =,если -3≤х≤0

Построим графики полученных функций.

На промежутке(-∞;-3) гипербола у =

На промежутке [-3;0] функция определена всюду, кроме точки х = -2. При этом у = -1.

На промежутке (0;∞) гипербола у = . Учитывая выше сказанное, получаем график исходной функции.

 

 

Пример 5.

С помощью известных нам данных можно решить более сложное задание:

При каком значении параметра  а прямая  у = ах +1 касается  графика функции у =  ? Найти координаты точки касания.

Мы уже знаем, что графиком функции у =  =1 -   является гипербола с вертикальной асимптотой х=-1 и горизонтальной асимптотой у=1. Графиком функции у = ах+1 является прямая.  Координаты точки касания должны удовлетворять системе уравнений

При этом система должна иметь единственное решение.

Приравняем правые части и получим уравнение ах2+х+ах+1=х-1 или ах2+ах+2=0(а≠0).Чтобы квадратное уравнение имело один корень,  его дискриминант должен быть равен нулю, т.е. D=а2-8а=0, значит,  а=8.

Подставим значение а=8 в уравнение ах2+ах+2=0 и получим 8х2+8х+2=0. Откуда х=-0,5. Найдем соответствующее значение у = ах+1=8·(-0,5)+1=-3. Итак, координата точки касания графиков (-0,5;-3).

На графике это будет выглядеть следующим образом:

 

 

Пример 6.

В последней нашей диагностической работе по подготовке к сдаче ГИА по математике было  похожее задание :

Постройте график функции у =  и найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение:

Найдем область определения данной функции

Х2– х>0 или х(х – 1)>0

Откуда получаем x<0 и х>1.

Преобразуем функцию . Значит наша функция на своей ООФ принимает вид у=. Прямая у=kх имеет с графиком данной функции одну общую точку при k≥1.

Это задание из второй части, за правильное решение, которого можно получить максимальный балл(4 балла).

 

 

 

Пример 7.

Задача: постройте график функции у = |х|(х-4) +1 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

ООФ являются все  действительные числа.

Раскроем знак модуля: у =

 

Графиком каждой из этих функций является парабола. Поэтому найдем координаты вершины каждой.

1)    Х0= -  =  = 2

2)    У0= -3

3)    Х02= - = = 2

4)    У02=5

Значит, вершина первой параболы находится в точке с координатами (2;-3), а второй (2;5).

Проведем через точку х=2 ось симметрии. Она будет являться осью как для первой параболы, так и для второй.

Найдем нули функции, т.е. точки, в которых функция принимает значение у=0

Х2 – 4х +1 = 0, решая это уравнение находим х1=2+ и х2=2 -

-Х2 +4х+1 = 0, решая это уравнение находим х1=2+ и х2=2 -

Найдем точки пересечения графиков с осью у. Для этого подставим в нашу функцию значение х=0.

У1=1 и у2=1.

По этим характерным точкам построим график квадратичной функции. По графику видно, что прямая у=m,  имеет ровно три общие точки,  при mє (-3;1)

 

Пример 8.

Рассмотрим еще одну задачу из второй части, которая также оценивается максимальным баллом:

Найдите промежутки возрастания  и убывания функции у = 2х+3|х-1|- 4|х+2|-1 

Найдем нули функции: х-1=0, и следовательно х=1; х+2=0, и следовательно х=-2.

Раскроем знаки модуля на каждом промежутке:

1)    При х≤-2 получаем у = 2х -3(х-1) +4(х+2)-1=3х+10 – функция возрастает;

2)    При -2≤х≤1 получаем у = 2х-3(х-1) – 4(х+2) -1= -5х-6 – функция убывает;

3)    При х≥1 получаем  у = 2х+ 3(х-1) – 4(х+2) -1= х -12 – функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках (-∞;-2] и [1;∞), функция убывает на промежутке [-2;1].

 

Ещё один приём построения графиков

График функции y=1/x можно построить несколько иначе. Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x (рис.1).

Нарисованная картина показывает, как маленькие (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 (и - 1), остаются на месте.

 

 

 

Рис.1

Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x).

Заключение

При выполнении реферативной работы:

- уточнила свои понятия дробно-линейной  функций и выяснила, что является графиком  этой функции:

Определение 1.

Дробно-линейная функция – это функция вида , где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0.

- сформировала алгоритм построения графиков этих функций;

-рассмотрела несколько методов построения графиков;

- научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;

   - произвела разбор типовых заданий из второй части экзаменационных работ;

  - приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;

  - научилась составлять проблемно – реферативную работу.