Учитель Карпунина Марина Михайловна

Почётный работник образования

РМ г. Саранск, МОУ «Средняя общеобразовательная школа №5»

Адрес: РМ г. Саранск ,ул. Веселовского 16А

Телефон: 8-906-161-00-52

Электронная почта: marina.karpunina2011@jandex.ru

 

 Урок геометрии в 7 классе по теме: Применение признаков равенства треугольников к решению  практических задач.

 

Тема: Применение признаков равенства треугольников к решению практических  задач

Eрок проводится в классе со стандартной математической подготовкой по  теме «Признаки равенства треугольников» по учебному пособию «Геометрия 7-9» авторского коллектива под редакцией Атанасяна. На этом уроке каждый ученик получит обязательно  отметку, и некоторые учащиеся получат оценку за приготовленные  индивидуальные задания.

Цель: закрепить, совершенствовать и проверить знания учащихся по теме «Признаки равенства треугольников»

Задачи:

Ø   Образовательная:

·        Повторить и закрепить знание учащимися формулировок признаков равенства треугольников.

·        Формирование умений:

                                    - распознавать равные треугольники;

                                    - доказывать их равенство;

                                    - делать выводы о равенстве некоторых их элементов.

·        Тренировать способность решать задачи, используя признаки равенства треугольников

Ø   Воспитательная:

·        Воспитывать аккуратность и прилежание.

·        Прививать положительное отношение к знаниям, к процессу учения.

·        Формировать самостоятельность и умение делать самооценку.

Ø  Развивающая:

·        Развивать творческие способности, познавательную активность.

·        Развивать умение решать задачи по готовым чертежам, развивать логическое мышление.

·        Учить разрешению проблемы, частично-поисковой деятельности учащихся.

·        Развивать внимание, слуховую и зрительную память.

·        Формировать математическую речь учащихся.

 

Тип урока: урок комплексного применения, проверки и оценки знаний.

 

Аннотация урока:

    В последнее время наблюдается некоторое снижение интереса учащихся к геометрии. И такое снижение  интереса к предмету совсем не оправдано. Геометрия играет важную роль в жизни человека. Она заставляет «говорить новым языком». Привыкая рассуждать доказательно, учащиеся учатся мыслить логически, что позволяет более успешно осваивать другие дисциплины – физику, химию, историю и т.д. Вот почему так важно на каждом уроке пробуждать и прививать интерес учащихся к предмету. А применение компьютерных и других современных технологий помогут сделать урок более насыщенным, наглядным и эстетичным.

   Данный урок проводится после изучения трёх признаков равенства треугольников. Указанный тип урока позволяет за короткие промежутки времени, меняя формы и приёмы работы, проверить качество знаний учеников по конкретной теме, проверить умение  применять эти знания в различных заданиях. Именно на таких уроках наиболее ярко прослеживается структура познавательной деятельности учащихся. На таких уроках активность учащихся намного выше, чем на других уроках, а в результате и качество запоминания и воспроизведения изучаемого материала намного выше. Ученики не только воспринимают материал от учителя, но и сами активно участвуют в его создании и усвоении путём сочетания мыслительных операций с практическими действиями. В это время у ребят развивается творческая самостоятельность, инициатива, лучше реализуется принцип связи теории и практики.

 

Оборудование:  компьютер, проектор,  кроссворд и задания к нему,  задания готовые модели для каждого учащегося, треугольник и прямоугольник (шарнирные).

 

Методы и формы: метод взаимопроверки, частично-поисковый метод, фронтальная, индивидуальная и работа в парах.

 

 

Ход урока:

I.                  Вступительное слово учителя  (2 мин)

―      Во дворе школы похитили трех друзей. Было проведено тщательное расследование, составлен протокол на 1000 листах, но дело похитили. Учащиеся 7 класса «Б» обнаружили в коридоре около кабинета № 1 несколько листочков того протокола, что позволило им составить словесный портрет друзей.

        

       Итак, что нам известно.

1.     Нам стало  известно несколько особых примет, а именно, что у всех трех друзей есть по одной стороне.

2.     Известно, что у первого и третьего их было по две.

3.     Установлено, что последний имел их даже три.

4.     Известно, что у первого и второго есть угол.

5.     У второго их было даже два.

- Итак, что мы имеем в итоге?

 

Ответ: (1, 2, 3 признаки равенства треугольников)

Верно! Именно это и было установлено комиссией, которая вела расследование.

Формулируется тема урока.

Запись числа и  темы в тетрадь.

 

 

1. Организационный момент (2 мин.). Сообщение темы и целей урока.

Учащиеся ставят для себя цель – подготовиться к проверочной работе по данной теме.

 

2. Проверка  теоретического материала происходит  через устный опрос по вопросам и геометрический диктант.

 На  вопросы отвечают «да» или «нет»

1.            Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным (да);

2.            Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, называется медианой треугольника ( нет);

3.            Если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны (нет);

4.            В треугольнике углы при основании равны(нет);

5.            Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны(да).

 

Дети готовы к геометрическому диктанту по вариантам:

1.Два угла, у которых одна сторона общая,

а две другие являются продолжениями одна другой,  называются… (смежные)

1.Два угла, у которых  стороны одного

угла являются продолжениями сторон другого,

называются…( вертикальные)

2.Сумма смежных углов равна… ( равна 180 градусам)

2.Свойство вертикальных углов:

вертикальные углы…( равны)

3.Треугольник, у которого две стороны равны, называется…( равнобедренный)

3.В равнобедренном треугольнике углы
при основании ( равны)

4.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является…( медианой и высотой)

4.Отрезок, соединяющий вершину

треугольника с серединой противоположной

 стороны, называется…( медианой)

5. Два треугольника равны, если соответственно равны две стороны и …( угол между ними)

5. два треугольника равны, если соответственно равны сторона и два ….(прилежащих к ней угла)

 

Этап проверки демонстрирует знания  учащихся к решению  задач.

Проверяется сразу ( работа в парах).

Выставляется оценка в лист контроля .

 

3. Актуализация теоретических знаний к решению задач (3 мин.).

(см. приложение 1, На этом этапе у учеников есть возможность заработать баллы для будущих отметок, т.к. за каждый правильный ответ ученик получает 1 балл и выставляет себе в лист контроля. Работа с учащимися – фронтальная.

По готовым чертежам сформулировать признаки равенства треугольников.

Рассматриваем 5 устных задач по готовым чертежам. Приложение 2.

 

Учитель:  Ребята! Сейчас в своей работе вы использовали такой приём, как доказательство. Эта форма работы вам ещё недостаточно известна. А до VI века н.э. с доказательством люди вообще были не знакомы. Первым учёным, который стал рассуждать, доказывать, был Фалес Милетский. Фалес считается одним из семи мудрецов, оказавших большое влияние на жизнь древних греков. Одним из самых известных его высказываний было «Познай самого себя».

 

4. Историческая  справка(5 мин.) Из истории развития признаков равенства треугольников.

Здесь отражены основные моменты развития теории о треугольниках, происхождение геометрических терминов, имена известных геометров.

 ( сообщение заранее подготовлены учениками). (См приложение 5)

 

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

5. Творческое задание (4 мин.) задача Фалеса.

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С =A; EDС = BDA как вертикальные). (См Приложение 3)

 

6. Физкультминутка

7. Свойство геометрической фигуры «треугольник». Свойство жесткости треугольника (демонстрация и объяснение)

Ученик готовит заранее это сообщение (см. приложение 4).

8 . Задача с практическим содержанием.

Задача . Три поселка В, С и Dрасположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок D- в 4 км к востоку от В. Три других посел­ка А, К и М расположены так, что поселок К нахо­дится в 4 км к северу от М, а поселок А - в 7 км к юго-востоку от М. Сделайте чертеж и докажите, что расстояние между пунктами С и Dтакое же, как меж­ду пунктами К и А.

[Договоримся, что на карте север направ­лен вверх, юг - вниз, восток - вправо, за­пад - влево. Необходимо эти поселки рас­положить на карте и доказать, что тре­угольник BDC равен треугольнику АМК. Они равны по двум сторонам (по построе­нию ); угол CBD равен углу КМА и равен 135 градусам. Следовательно, DC = АК.]

Дано:

Найти:

Решение:

AB = AC, BD = CD

∆АВD= ∆ACD

 

Задача 3. Мама купила 1 м ткани шириной 1 м на платки двум дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части и докажите правильность своих дей­ствий.

Задача 4. Столяру нужно заделать отверстие тре­угольной формы. Сколько размеров и какие он дол­жен снять, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму:

а) прямоугольного треугольника;

б)         равностороннего треугольника;

в)         равнобедренного треугольника;

г)         разностороннего треугольника?

Всем учащимся раздаются четыре предложенных вида треугольника. Устно необходимо выяснить, ка­кие размеры необходимо снять, чтобы изготовить латку.

[Воспользовавшись признаками равенства треугольников, можно понять, какие раз­меры для каждого треугольника надо снять,

 а ) Прямоугольный - два катета;

б) равносторонний - одну сторону;

в) равнобедренный - боковую сторону и основание;

г) разносторонний - три стороны.]

 

 

9. Применение треугольника в жизни презентация ученика Тюфтин Денис

10. Задание на дом. Подведение итогов

Придумайте и решите практическую задачу, в которой были использованы признаки равенства тре­угольников.

За урок каждый ученик получает две оцен­ки: одну за выполнение диктанта, а вторую за работу на уроке.

 

 

Приложение 5

Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная  фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков  используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и  в других древних документах.

    В древней Греции учения о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, в школе Пифагора число три определялось через треугольник.  Три - треугольник, образующий плоскость двух измерений,  и возврат к определенности. Числа пифагорийцы изображали в  виде точек, известны, так называемые, треугольные числа ( 1, 3, 6, 10...), которые образуют правильный треугольник. Учение о треугольниках было полностью изложено в первой книге “Начал” Евклида.  Среди  определений, которыми начинается эта книга, имеются и следующие: ”Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равных  стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний  -  имеющая три неравные стороны”. Понятие о  треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и,  наконец,   разносторонние треугольники.

      Можно сказать, что почти вся геометрия со времен “Начал” Евклида покоится на “трех китах” - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже ХIХ - ХХ в.в. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.

   За  несколько  тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о  “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

       “Линия”  -  от латинского  слова ”LINEA” ( черта, линия) образовавшегося от слова “LINUM” -лен, льняная нить, шнур, веревка. Шнуром или веревкой  пользовались для измерений римские землемеры.

      “Перпендикуляр” -  от  латинского  слова   “PERPENDICULARIS” - “отвесный”. Термин был образован в  средние века.

       “Биссектриса” -   от   латинских слов (дважды, надвое) и “SECTRIX” - “секущая”.

       “Медиана” - от латинского слова “MEDIANA” - “средняя” (линия).

   

Равнобедренный  треугольник в древности

    Равнобедренный  треугольник  обладает   рядом     геометрических свойств, которые привлекали к себе внимание еще в древности.  В задачах на треугольники, содержащихся в папирусе Ахмеса,  на первый план  выступают равнобедренный  и прямоугольный  треугольники.  На практике часто применялось  свойство медиан  равнобедренного треугольника, являющейся  одновременно и  высотой и биссектрисой. То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно еще  древним вавилонянам 4000 лет назад. Сейчас это утверждение сформулировано в виде теоремы и изучается  в школьном курсе геометрии в 7 классе.

 

 

 

     Треугольник  во времени

     Треугольник    издавна    привлекает   внимание  геометров .   В знаменитых “Началах” Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных  перпендикуляров к его сторонам.

      Понятие  о  центре  тяжести  (центроиде) впервые ввел величайший математик и физик древнего мира, греческий геометр Архимед. Он же обнаружил, что с помощью этого понятия, путем воображаемого взвешивания и  воображаемого  подвешивания масс в различных  точках геометрических фигур,  возможно решить  большое число разнообразных геометрических задач. Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной  пластинки установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Позднее было доказано, что три высоты треугольника пересекаются  в одной точке. После Евклида  красивые теоремы  о треугольнике доказывали замечательные ученые древности, как  Аполлоний, Герон, Менелай и Птолемей.  Ближе к нашему времени треугольником увлекались Эйлер, Понселе, Симпсон, Дезарг, Клейн, Адамар.  Закономерность в расположении трех замечательных точек треугольника - центра описанной окружности, центроида и ортоцента  - впервые обнаружил знаменитый  математик Леонард Эйлер.

Лист контроля

Фамилия 

Имя 

Класс

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

№1

Диктант

№2

Устная работа

№3

Индивидуальные задания

№4

Решение задач в парах

Всего баллов

 

 

 

 

 

 

Наибольшее баллов 5

За каждую задачу 1 балл

За индивидуальное задание 1балл

 Правильную задачу 1 балл

более

 

 

Литература

1. Алтухова Е.В.и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства / Волгоград: Учитель, 2009.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / М.: «ВАКО», 2004.
3. Балаян Э.Н. Геометрия задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ 7 – 9 классы / Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

 

№1

 

                                                                   

    

 

№2.

 

№3.

№4.

 

 

№5.

 

 

 

Приложение 2.

 

 

Приложение 3

 

 

 

 

    

 

Приложение 4