Олжас Омарович Сулейменов родился в семье Омархана Сулейменулы (1936 г.р.), прямого потомка Олжабай батыра, офицера казахского кавалерийского полка, репрессированного в 1937 году. Позже Лев Гумилёв сообщил Олжасу, что сидел с его отцом в норильском лагере, где того расстреляли.

Окончил школу в 1954 году и поступил на геологоразведочный факультет Казахского госуниверситета, окончил его в 1959 году, инженер-геолог. Последние годы учёбы совмещал с работой в геологоразведочных партиях.

Литературной работой занялся в 1955 году.

В 1959 году поступил в Литературный институт им. А. М. Горького в Москве на отделение поэтического перевода.

Молодой поэт писал стихи на русском языке и был поначалу известен только у себя на родине. Широкую известность он получил весной 1961 года. Тогда, отчисленный за драку из Литературного института, он вернулся в Алма-Ату и подрабатывал в газете «Казахстанская правда». 11 апреля осведомленный о событиях на Байконуре редактор газеты Фёдор Боярский заказал ему стихи про полет человека в космос. За ночь он набросал несколько строк, и 12 апреля, когда объявили о полете Гагарина в космос, стихи уже вышли в газете и листовки с этим текстом разбрасывали с самолетов над Алма-Атой и другими городами Казахстана. Впечатленный эпохальным событием, поэт за неделю превратил эти стихи в поэму «Земля, поклонись человеку!», и уже в мае она вышла в свет.