1 слайд . Титульный лист

Логарифмическая спираль

Работа ученицы 11 класса

МБОУ СОШ с.Восток

Разуваевой Т.А.

Руководитель: Задиринко Е.Н.

Восток, 2014

(полная работа содержит в себе 24 слайда)

 

2 слайд. Содержание

Содержание:

 

1. Введение
2. Цели и задачи
3. Понятие о логарифме
4. История возникновения
5. Логарифмическая спираль
6. Область изучения
7. Логарифмическая спираль в природе
8. Логарифмическая спираль в космосе
9. Логарифмическая спираль в архитектуре
10. Логарифмы в психологии
11. Логарифмическая спираль в музыке
12. Спираль в живописи
13. Логарифм и экономика
14. Логарифмы в литературе
15. Логарифмы в ЕГЭ
16. Заключение
17. Источники

 

 

3 слайд. Введение

В школьном курсе логарифм изучается опосредованно, используется только для решения уравнений и неравенств. К сожалению, не даётся полная информация о широте его применения. Но по мере углубления в изучении логарифма открывается его широкое проникновение в различные спектры жизни.

 

 

4 слайд. Цели и задачи

Цель работы: донести «простоту» такого понятия в математике, как логарифм, «облегчить» и «упростить» понимание термина «логарифмическая спираль». Подтвердить или опровергнуть гипотезу.

Задачи: отразить широту применения логарифма в различных областях и сферах жизни, показать это на практике. Ответить на вопросы: была ли необходимость в исследовании логарифма? Дало ли открытие логарифма применение в обыденной жизни? Насколько это облегчило нахождение тех или иных величин?

Гипотеза: Понятие логарифмической спирали актуально в повседневной жизни.

 

 

 

5 слайд. Понятие о логарифме

Для начала, разберёмся, что же такое, этот логарифм и с чем его едят. Как мы помним (а может и не помним ) из школьного курса 11 класса, логарифмом числа b по основанию a является показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается как logab.

Из этого следует ещё одна формула:

alogab= b

Это выражение называют основным логарифмическим тождеством.

 

6 слайд. История возникновения

Начало исследования этой спирали связано с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в… логарифмическую (или равноугольную) спираль.

Первым, кто описал ее как механическую кривую, был Декарт в 1638 г. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и название: логарифмическая спираль.

Расстояние между витками растет с увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается с увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой – геометрическая спираль.

Отцом этой спирали, по всей справедливости, является Якоб Бернулли, который ее полностью изучил и которого она настолько заворожила, что он просил изобразить ее на его могиле с надписью “Eadem mutata resurgo’’ (“Измененная, я вновь воскресаю’’).
Каменотес не был хорошим математиком, и он вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль.

 

7 слайд. Логарифмическая спираль

Что же такое логарифмическая спираль? Спираль – это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали.Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью,  пропорциональной пройденному расстоянию. Точнее, в логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм этого расстояния.

 

8 слайд. Область применения

 

 

9 слайд. Спираль в биологии и природе

Любому сомневающемуся в тесной и неразрывной связи математических явлений с явлениями природы стоит в качестве доказательства продемонстрировать яркие и удивительно наглядные примеры этого диковинного соседства: раковины улиток и моллюсков, морские коньки, папоротники, океанские волны, чешуйки сосновой шишки, паутина, которую плетут некоторые виды пауков, семена подсолнуха и пр. представляют собой не что иное, как математическую кривую —логарифмическую спираль. Так же клювы некоторых птиц, рога таких млекопитающих, как горные козлы и паутина закручены по логарифмической спирали.

Кроме того, желающие немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе могут просто-напросто согнуть указательный палец, который тут же примет форму золотой спирали — спирали, витки которой находятся по отношению друг к другу в пропорции золотого сечения.

 

 

 

 

 

 

10 слайд. Спираль в космосе

Также можно обратить свое внимание на более «высокие» сферы: галактики открытого космоса, облака, образующие циклоны, хвосты комет, ураганы, следы от врезавшихся в землю метеоритов и пр. — все это явления в природе логарифмической спирали, которую также называют равноугольной, изогональной, чудесной, спиралью роста, спиралью Декарта.

 

11 слайд. Архитектура и техника

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивает равномерно.

Дом, построенный в виде морской раковины в Мехико, основывается на формуле логарифмической спирали. Создатели Наутилуса - так называется проект - попытались создать ощущение четвертого измерения, которое должно возникать, если находиться внутри строения.

 

12 слайд. Почему мозг воспринимает мир логарифмами

Всем знаком такой прибор, как логарифмическая линейка. Напомню: логарифмическая линейка – устройство, предназначенное для упрощения и ускорения работы с логарифмическими таблицами. Использование логарифмической линейки значительно упрощало операции умножения, деления, возведение в степень, извлечения корня и расчет тригонометрических и логарифмических функций. Различного вида логарифмические линейки широко использовались вплоть до начала восьмидесятых годов, пока небыли вытеснены электронными калькуляторами.

Если обычного взрослого человека попросить назвать число между 1 и 9, в большинстве случаев им окажется 5. Но если тот же вопрос задать ребёнку или выходцу из традиционного, архаического общества, то в ответ вы услышите «3». Специалисты объясняют это тем, что для человека более естественно оценивать количество логарифмически, что линейное представление — это более позднее достижение культуры. В этом случае понятно, почему между 1 и 9 возникает 3: 1 — это 30, а 9 — это 32, а то, что находится между ними, как раз и есть 31.

Логарифмическая обработка информации извне позволяла древнему человеку избежать многих ошибок, которые могли стоить ему жизни.

Наш мозг предпочитает мерить внешние раздражители по логарифмической линейке. 

 

13, 14 слайды. Логарифмы в музыке

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику.

Играя на клавишах рояля, мы играем, собственно говоря, на логарифмах.

Пусть x – величина, показывающая, во сколько раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому из 12 полутонов частота увеличивается в x раз. Получаем уравнение 1:x12=1:2, x12=2, x==1,05947. Это – коэффициент темперированного строя. С его помощью мы нашли частоты каждого звука музыкальной гаммы.

Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1/12, которые соответствуют полутонам.

С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке.

 

 

 

Секунда:

Терция:

Кварта:

Квинта:

Секста:

Септима:

Октава:

 

15 слайд. Спираль в живописи

Проанализируем, как часто используют художники логарифмическую спираль, для изображения сложных движений. Одним из примеров логарифмической спирали в живописи является композиция Карла Брюллова - «Последний день Помпеи». Сюжет картины также всем хорошо знаком. Конфликт могущественных сил природы и беззащитность человека. Карл Брюллов задумал «Последний день Помпеи», как массовую сцену реального исторического события, в которой главным героем был народ. Смысл картины воплощается в передаче психологии массы

В центре картины выделяются две группы: мужчина, прикрывающий собой жену и двух маленьких детей, защищающий своих родных от разгула стихии, и группа коленопреклонённой молодой женщины с двумя детьми.

Картины, в которых изображаются активные действия персонажей, развитие, конфликты, чаще всего строятся по принципу спирали. Интересно было проследить, как справедлив этот закон для такого трагического сюжета: изображение конфликта незащищённого человека и разбушевавшегося Везувия. Начало спирали можно совместить с глазами юноши, наблюдающего из толпы весь ужас происходящего. Вот что получилось в результате наложения спирали на картину. Спираль соединяет лицо молодого человека и жерло грозного Везувия, все персонажи трагедии, размещены по линии золотой спирали, а все сюжетные группы, вписываются в квадраты или на стороны квадратов, на которых строится золотая спираль.

 

16 слайд. Спираль в живописи

Так же мы наблюдаем это явление в таких произведениях, как: «Избиение младенцев» Рафаэля, «Боярыня Морозова» Сурикова, «Благовещение» Боттичелли.

 

17 слайд. Логарифм и экономика

С помощью логарифмов можно рассчитать, например, на сколько увеличится капитал через определённый промежуток времени или через сколько лет вклад увеличится на определённый процент. Для расчёта необходимо использовать формулу сложных процентов:                                , откуда S – накопительная сумма, A – начальная сумма вклада, P-процентная годовая ставка, n – срок хранения вклада.

 

 

 

18 слайд. Логарифм и экономика

Разберём это на примере задания В2 из ЕГЭ по математике.

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк х от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счёт полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

При решении воспользуемся вышеуказанной формулой. В конце 1-го года фермер должен банку. Так как он уплатил ¾ суммы, т.е. ¾ А(1+р/100), значит после уплаты фермер должен банку ¼ А(1+р/100). К концу второго года фермер должен банку 1/4А(1+р/100)2, что составляет по условию 1,21 А.

Получается:

1/4А(1+р/100)2=1,21А

1*4/А(1+р/100)2=4,84

(1+р/100)=2,2

р/100=1,2

р=120%

Ответ: 120%

Мы рассмотрели решение задачи, показывающей огромное значение математики в любой области и профессии.

 

19 слайд. Логарифмы в литературе

Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с логарифмами в литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи – это «математика слова». Так многообразие применения функций вдохновили английского поэта Элмера Брилла, он написал  «Оду экспоненте». Есть поэты, которые не посвящали од логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Так, например, в своём стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал строки:

Потому – то, словно пена,

Опадают наши рифмы.

И величие степенно

Отступает в логарифмы…».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н. Будлянская

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Самая интересная, полезная и лирическая

Это – функция логарифмическая.

Спросите вы: «А чем интересна?»

А тем, что обратна она показательной

И относительно прямой у=х, как известно,

Симметричны их графики обязательно.

Проходит график через точку (1;0).

И в том еще у графика соль,

Что в правой полуплоскости он стелется,

А в левую попасть и не надеется.

Но если аргументы поменяем,

Тогда по правилам кривую мы сдвигаем,

Растягиваем, если надо, иль сжимаем

И относительно осей отображаем.

Сама же функция порою убывает,

Порою по команде возрастает.

А командиром служит ей значенье а

И подчиняется она ему всегда.

Теперь полезность мы вам четко обоснуем

И яркую картину нарисуем.

Вот вы когда-нибудь слыхали

О логарифмической спирали?

Закручены по ней рога козлов,

И не найдете вы на них нигде узлов.

Моллюсков многих и улиток

Ракушки тоже все завиты.

И как сказал великий Гете:

«Вы совершеннее строенья не найдете!»

И эту спираль мы повсюду встречаем:

К примеру, ножи в механизме вращая.

В изгибе трубы мы ее обнаружим –

Турбины тогда максимально послужат!

В подсолнухе семечки тоже закручены,

И паука все плетенья заучены.

Наверняка и о том вы не знали,

Галактики тоже кружат по спирали!

Логарифмы – это все!

Музыка и звуки!

И без них никак нельзя

Обойтись науке!

 

20 слайд. Логарифмы в ЕГЭ

В ЕГЭ по математике 2014 года в задании 3 части С необходимо уметь решать уравнения и неравенства, в том числе и логарифмические. При правильном решении можно получить 3 балла, которые играют важную роль при сдаче экзамена. А при  хорошей подготовке его вполне возможно решить за 15 минут.

Для примера я взяла задание С3 из демо-версии ЕГЭ 2014 года.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 слайд. Заключение

На примере данной работы мы выяснили, что логарифмическая спираль – интересный феномен, имеющий широкое  применение практически во всех сферах жизни.

Мы получили ответы на все вопросы. Исследовать логарифм было необходимо, его открытие и изучение логарифмической функции нашло большое отражение в науке и быту. Гипотеза об актуальности подтвердилась. Благодаря полученным знаниям и открытиям расчёты и решение многих задач во многих областях намного упростились. Этот феномен актуален и на сегодняшний день, знания о логарифме и спирали упрощают банковские, коммунальные расчёты. Для нынешних школьников и студентов данная работа будет полезна, так как эти знания необходимы для успешного решения некоторых заданий в ЕГЭ. Деятелям культуры данная работа также будет интересна. Но это далеко не все области, в которые вторгается логарифм. Так, математическое понятие может быть не только простой теорией, но и неотъемлемой частью жизни всего живого на Земле.

 

 

22 слайд. Источники

Источники:

 

1. А.Н. Колмогоров Алгебра и начала математического анализа 10-11. - Москва: Просвещение 2010. – 233 с.
2. Логарифмическая спираль. Режим доступа: http://sitekid.ru/matematika/logarifmicheskaya_spiral.html
3. Логарифмы в нашей жизни. Режим доступа: http://nsportal.ru/ap/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/logarifmy-v-nashey-zhizni
4. Логарифмическая линейка. Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифмическая_линейка
5. Якоб Бернулли. Логарифмическая спираль. Режим доступа: http://hijos.ru/2011/04/13/yakob-bernulli-logarifmicheskaya-spiral/
6. Математика в стихах. Режим доступа: http://gigabaza.ru/doc/27808.html
7. В.А.Гамидов Логарифмическая спираль в живописи – Армавир 2013
8. Л.Д.Померанцева Логарифмы в музыке

 

23 слайд. Спасибо за внимание!

 

24 слайд.