Тема: «Декартова система координат в пространстве»

Цели урока:

Образовательные: рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве, вывести формулу расстояния в координатах, вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие:  способствовать развитию пространственного воображения учащихся, способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

План урока:

1. Организационный момент;

2. Введение;

3. Сообщение целей урока;

4. Актуализация;

5. Изучение нового материала;

6. Закрепление: решение задач.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется Прямоугольной (ортогональльной)           

Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной  (декартовой)

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат

Координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

    В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

   М (х,у,z), где х – абсцисса,

    у – ордината, z  - аппликата.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту.

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Расстояние между двумя точками:

Координаты середины отрезка BC:

Формула для нахождения координаты середины отрезка AB с концами  имеет вид :   

Задача 1: На плоскости заданы координаты двух точек        A(-7;3) и B(2;4). Требуется Найти координаты середины отрезка AB.

Решение:

Пусть точка C-середина отрезка AB. Её координаты равны полусуммам соответствующих координат точек A и B

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты:

Задача 2: Найдите длину медианы АМ в треугольнике АВС, если известны координаты его вершин A(-1;0), B(3;2), C(9;-8).

Решение: Так как АМ – медиана, то точка М является серединой стороны ВС. Найдем координаты середины этого отрезка по известным координатам его концов:

Таким образом M(6;-3)

Теперь воспользуемся формулой для вычисления расстояния между точками A и M:

Ответ:

Задача 3: В прямоугольной системе координат трехмерного пространства дан параллелепипед                  .Известно,что              ;         M(4;2;-4)-середина диагонали        . Найдите координаты точки А.  

Решение: Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из этих диагоналей. Таким образом, мы можем утверждать, что точка М является серединой отрезка