«Текстовые задачи и систематизация методов их решения»

Введение

           Анализ результатов проведения итоговой аттестации по математике в новой форме позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела математики.
           Данная работа рассчитана в первую очередь на учащихся,  желающих расширить и углубить свои знания по математике и качественно подготовиться к экзаменам. Она поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и ознакомиться с методами их решения, на которые мало уделяется внимания в рамках школьной программы из-за ограниченного количества часов на данную тему. 

 Способы решения текстовых задач.

               Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

               Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

               При решении задач различными способами ученик привлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как правило, различными способами решается  те из задач, где этого требует вопрос, поэтому такая работа носит эпизодический характер.

               В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.

               Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

               При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

               В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.

               Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

               До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашёл должного применения в школьной практике.

Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Этапы решения задач.

Решение текстовых задач – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1.   Ознакомление с содержанием задачи;

2.   Поиск решения задачи;

3.   Выполнение решения задачи;

4.   Проверка решения задачи.

1. Задачи на движение:

• Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);
• Задачи на движение по замкнутой трассе;
• Задачи на движение по воде;
• Задачи на среднюю скорость;
• Задачи на движение протяженных тел;

2. Задачи производительность;

3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии;

4. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы;

5. Задачи на проценты, части и доли;

6. Задачи на бассейны и трубы.

Ценность задач состоит в демонстрации их общности с точки зрения исследования  и анализа реальных процессов средствами математики.

          Решение задач состоит в построении математической модели по текстовому описанию конкретной ситуации и в применении этой модели для отыскания одной или нескольких величин, имеющих конкретный содержательный смысл. Как правило, математическая модель имеет форму алгебраического уравнения или системы уравнений, которая строится на основе содержательной интерпретации понятий и условий, характеризующих ситуацию в тексте задачи. Решение построенной модели обычно требует учета содержательного смысла используемых величин. Наконец, самому полученному решению модели должна быть дана содержательная интерпретация.

Учащиеся, как правило, испытывают трудности при решении задач, так как их систематическое решение заканчивается вместе с изучением курса  математики 9-го класса. В курсе математики текстовые задачи представлены периодически, и они систематизированы по видам составляемых уравнений, а не по содержательной интерпретации. Кроме того, математическая формализация условий конкретных ситуаций предусматривает использование понятий и закономерностей, либо изучаемых вне математики, либо вытекающих из опыта практической жизни или здравого смысла.

Мы остановимся на рассмотрении  некоторых задач на движение, арифметическую и геометрическую прогрессии, концентрацию, смеси, сплавы и сложный процент.

  Способы решения текстовых задач

 При решении задач на равномерное движение по прямой принимаются обычно следующие допущения:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь Sопределяется по формуле S = v ∙ t, где t - время,  v – скорость.

2. Скорость всегда считается величиной положительной.

3. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, то есть, происходят без затрат времени; скорость при этом тоже меняется мгновенно.

4. При движении на воде:

·         Скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорость в стоячей воде) и скорости течения реки. 

·         Скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.

·         Если в условии задачи речь идет о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело (плот) движется со скоростью течения реки (собственная скорость плота равна нулю).

·         Разность  между скоростью тела по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения реки.

Если x – собственная скорость тела (при любой размерности), v– скорость течения реки (при той же размерности), то (x + v)– скорость тела по течению, (x - v)– скорость против течения. Тогда разность между скоростью тела по течению и против течения:

(x + v) – (x - v) = x + v – x + v = 2v.

Задача 1.Теплоход проходит расстояние между пристанями В и С по течению за 6 часов, а обратно против течения – за 8 часов. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть расстояние от В до С.

Решение.Обозначим расстояние от В до С за S км. Тогда скорость по течению - км/ч, а скорость против течения - км/ч. Разность между скоростью теплохода по течению и против течения равна удвоенной скорости течения реки, то есть,  2Vт = -=.

Скорость течения Vт = S (км/час) и равна скорости движения плота, следовательно, время движения плота 48 часов.

Ответ: 48 часов.

В задачах на движение иногда объект движется с разной скоростью на разных участках пути,  и требуется найти среднюю скорость движения.

Пусть  объект прошел расстояние S1 за время t1и расстояние S2 за время t2 , тогда средняя скорость движения объекта на всем пути вычисляется по формуле:

Vcр=

Обратите внимание, что при нахождении средней скорости движения в задачах, где известны расстояния и скорости на каждом участке пути (S1, S2 иv1,v2), учащиеся часто делают ошибку, находя среднюю скорость как vcр= . На самом деле, средняя скорость движения находится по формуле: vcр=.

Если отрезков пути не два, а более, то средняя скорость находится аналогично.

Задача 2. Автомобиль из А в В ехал со скоростью 50 км/ч, а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч. Какова его средняя скорость на всем пути?

Решение. Примем расстояние отА до В за S. Поскольку автомобиль шёл изА в В и обратно, то Sобщ = 2S, а tобщ = tAB + tBA.

tAB =ч,  а tBА =ч,  то есть,  tобщ= ч.

Тогда vср = 2S : = 37,5 (км/ч).

Ответ: 37,5 км/ч.

Далее рассмотрим возможные варианты движения двух тел (вышедших из одной точки, из разных точек; движущихся в одном направлении, противоположных, друг за другом).

1.  Движение навстречу друг другу.

Если два тела движутся навстречу друг другу, то скорость «их сближения» равна сумме скоростей данных тел.

Если первоначальное расстояние между двумя телами, движущимися навстречу друг другу со скоростями  v1 и v2, равно S, то время, через которое они встретятся, равно:

t = S : (v1 + v2).

         2.  Движение в противоположные стороны.

Если два тела движутся в противоположные стороны, то скорость «их удаления друг от друга»  равна сумме скоростей данных тел.

Расстояние между двумя телами, движущимися в противоположные стороны со скоростями  v1 и v2, через время t равно

S = S0 + (v1 + v2)×t,

где S0 – первоначальное расстояние между ними. S0 = 0, если движение тел начинается из одной точки.

3.  Движение в одном направлении.

Если два тела, находящиеся перед началом движения на расстоянии S друг от друга, движутся в одном направлении со скоростями v1 и v2, где v2>v1, то возможны два случая.

1. Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью. В этом случае «скорость сближения» равна разности скоростей (v2–v1),  авремя, через которое второе тело догонит первое, равно:

t =S:(v2 – v1).

2. Тело с большей скоростью «убегает» от тела с меньшей скоростью. В этом случае «скорость удаления» также равна разности скоростей (v2–v1), а расстояние, которое будет между телами через время t, равно:                                                         

S1 = S + (v2 – v1)×t

Задача 3. Две пчелы одновременно взлетели с одного и того же цветка и разлетелись в противоположных направлениях. Скорость первой пчелы 18 км/ч, что в 1,2 раза меньше, чем скорость второй пчелы. Через 9 секунд они сели на ромашки, растущие на противоположных сторонах лужайки. Каково расстояние  между ромашками?

Решение.  Переведем скорость первой пчелы в м/с: 18 км/ч = 5 м/с. Скорость второй пчелы – 5×1,2 = 6 (м/с). Скорость «удаления пчел друг от друга» равна 11 м/с. Значит, расстояние между ромашками – 99 м.

Ответ: 99 м.

Задача 4. Из города выехал грузовик со скоростью 60 км/ч. Через 2 часа вдогонку выехал мотоциклист. В некоторый момент времени расстояние между ними было 80 км. Если бы скорость мотоциклиста была враза больше, чем в действительности, то это расстояние оказалось бы в четыре раза меньше. Найти скорость мотоциклиста.

Решение.

Обратим внимание на то, что мотоциклист на 80 км не догоняет грузовик (ситуация, в которой мотоциклист сразу перегоняет грузовик на 80 км, не может быть – в этом случае при увеличении скорости мотоциклиста враза, расстояние между ними не может уменьшиться). При этом возможны два случая по условию задачи: мотоциклист при увеличении скорости враза может не догнать грузовик, и мотоциклист может перегнать грузовик.

Составим таблицу:

Скорость (км/ч)

Время

Расстояние

Грузовик

60

t + 2

60(t + 2)

Мотоциклист

(с первой скоростью)

v

t

v t

Мотоциклист

(со второй скоростью)

v

t

v t

 Составим систему уравнений для первого случая (мотоциклист не догоняет грузовик и после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2)= vt + .

Решаем эту систему.

Выразим vt из первого уравнения: vt = 60(t + 2) – 80 = 60t + 40.

Подставим vt во второе уравнение: 60(t+ 2)=  (60t + 40) +. Отсюда t =.

Тогда из первого уравнения находим v = 72.

Составим систему уравнений для второго случая (мотоциклист перегоняет грузовик после увеличения скорости):

60(t + 2)= vt + 80,

60(t + 2) = vt - .

Решая эту систему,  получим t = 6, v =.

Ответ: 1) 72 км/ч;    2)   км/ч.

Задача 5. Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м.

С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге?

(A) 70 км/ч      (Б) 65 км/ч      (В) 60 км/ч      (Г) 55 км/ч      (Д) 50 км/ч

Решение. В момент, когда первый грузовик свернет на проселочную дорогу, ситуация изменится. Первый грузовик пройдет по проселочной дороге 15 м с неизвестной скоростью за то же время, за которое второй пройдет по асфальтированной дороге 24 м со скоростью 80 км/ч.

Отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей.

Составим пропорцию = . Отсюда х = 50.

Ответ: (Д) 50 км/ч.

Еще один вид движения – движение с ускорением.

Считается, что движение может быть равноускоренным (ускорение а> 0) или равнозамедленным (ускорение а< 0). При решении таких задач используются следующие формулы, связывающие пройденное расстояние S, время t, скорость v, ускорение а, начальное время t0и начальную скорость v0 = v(t0):

S = v0t + ,                                   а =

Задача 6. Винтик и Шпунтик выехали навстречу друг другу из разных гаражей, расстояние между которыми 390 метров. Винтик проехал в первую секунду 6 м, а в каждую последующую проезжал на 6 м больше, чем в предыдущую. Шпунтик выехал через 5 секунд после Винтика и ехал равномерно со скоростью 12 м/с. Сколько времени ехал Винтик до встречи со Шпунтиком?

Решение. Очевидно, что Винтик двигался равноускоренно. Начальная скорость v0 и ускорение a неизвестны. Из формулы S = v0t +  при t =1с получаем 6 = v0  +  (за первую секунду Винтик проехал 6 метров). При  t = 2с получаем 18 = 2v0  +  (6 метров за первую секунду и 12 метров за вторую проехал Винтик). Отсюда v0 =3 м/с,  а= 6 м/с2. Тогда расстояние, пройденное Винтиком за время t, определяется по формуле:

                                                                               S = 3 t + .

Пусть Винтик и Шпунтик встретятся в момент t0. Винтик проедет расстояние, равное

S1 = 3 t0 + , аШпунтикS2 = 12 (t0 – 5). По условию S1 + S2 = 390. Получаем квадратное уравнение: 3 t0 + + 12 (t0 – 5) = 390. Корни уравнения: -15 и 10. Уравнение имеет один положительный корень: t0 = 10.

Ответ: 10 секунд.

Задача 7.Электропоезд проехал мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м за 15 секунд. Какова длина электропоезда и его скорость?

Решение. В данной задаче следует учесть, что электропоезд имеет длину l.     Тогда скорость поезда v с одной стороны равна  м/с, а с другой стороны v =. Составим уравнение: =.  Из  полученного  уравнения  находим длину электропоезда l  = 75 м  и  его скорость v = 15 м/с (54 км/ч).

Ответ: 75 м; 15 м/с.

Задача 8. Расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка 1 км. Однажды Винни-Пух и Пятачок одновременно вышли из дома Винни-Пуха и пошли к дому Пятачка. Пятачок за 1 минуту проходит 75 м, а Винни-Пух – 50 м. Пятачок дошёл до своего дома, повернул назад, встретил Винни-Пуха, повернул и опять пошёл к своему дому – так он и ходил туда и обра