Тригонометрические уравнения с параметром.

1.      Найдите все значения параметра а, при каждом из которых  уравнение                                        COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение.

         Решение.

         Введем новую переменную:  t =COS2x,  t. Тогда данное уравнение принимает вид         t2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

        Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a2 + 8a + 16 = (a + 4)2.

         Так как  D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t1,2 =   =  ;

t1=

t2 =

         Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

          0 ≤ а +3 ≤ 1,

         -3 ≤ а ≤ -2.

         Ответ.  Уравнение  COS4 x – (a + 2)COS2x – (a + 3) = 0 имеет решение при а.

2.     Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2x не имеет корней.

        Решение.

6Sin3x  = p – 10Cos2x;

6Sin3x + 10Cos2x = p;

6Sin3x + 10(1 – 2Sin2x) = p;

6Sin3x – 20Sin2x + 10 = p.

       Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда тригонометрическое уравнение примет вид  6t3 – 20t2 + 10 = p.

      Рассмотрим функцию у = 6t3 – 20t2 + 10  и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

      Находим производную: у| =  18t2 - 40t= 18t(t -  D(y|)=R.

      Определяем критические точки функции:  у|=0,  18t(t - ,  t1=0, t2=

        Число 2не принадлежит промежутку  , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

       maxy(t) = 10, miny(t) = -16 на отрезке .

       Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

       Ответ.  Уравнение 6Sin3x = p – 10Cos2xне имеет корней при р

3.     При каких значениях параметра а выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx)  не равно нулю ни при каких значениях х?

        Решение.

        Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение          2 + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0 не имеет корней.

2 + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0;

2(Cos2x + Sin2x) + Cosx(3Cosx + aSinx)   = 0;

2Cos2x + 2Sin2x + 3Cos2x + aSinxCosx = 0;

2Sin2x + aSinxCosx + 5Cos2x = 0 – однородноеуравнениевторойстепени.

      Если бы Cosx = 0, то и Sinx = 0, что невозможно, так как  Cos2x + Sin2х  = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на Cosx.

      Получим уравнение вида  2tg2x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную:  t = tgx, t тогда  2t2 + at + 5 = 0.

      Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

      Способ 1.

      Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до Rи будет искомым ответом.

      Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

      D = а2 – 40,

      а2 – 40 ≥ 0,

      а2 ≥ 40,

       

       а];).

      Дополнением этого множества до Rявляется промежуток (-2

      Способ 2.

      Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

       D = a2 – 40,

      a2 – 40

       а2 40,

       

       -2

       a;).

       Ответ.  Выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx)  не равно нулю ни при каких значениях х, если a;).

4.     Найдите все значения параметра р, при которых уравнение  pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

        Решение.

        ОДЗ:  х

        Преобразуем  данное уравнение:

p( + p = 3.

        Обозначим  t = Sinx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид

 - p + 2t + p = 3,

        

 

P = 3t2 – 2t3.

       Рассмотрим функцию f(t) = 3t2 – 2t3 (D(f) = R) и найдем множество ее значений при                   t.

      Находим производную:  f|(t) = 6t – 6t2.

      Определяем критические точки:  f|(t) = 0, 6t – 6t2 = 0, t– t2 = 0, t(1 – t) = 0, t1=0, t2=1.

f(-1) = 3 + 2 = 5, f(t)  при tфункция f(t) непрерывна на промежутке [-1;0), следовательно, E(f) = (0;5] при t[-1;0).

f(1) = 3 – 2 = 1, f(t)  при tфункция f(t) непрерывна на промежутке (0;1], следовательно,

E(f) = (0;1] при t (0;1].

       Значит, E(f) = (0;5] при t [-1;0)  (0;1].

        Чтобы алгебраическое уравнение относительно t, а следовательно, и исходное тригонометрическое уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы      р E(f), т.е. р (0;5].

        Ответ.Уравнение  pCtg2x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень при р (0;5].

5.     При каких значениях параметра а графики функций  y = Sin2x + aCosx  и  y = 3a – 2a2  не имеют общих точек?

        Решение.

        Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение

Sin2x + aCosx = 3a – 2a2  не имеет корней.

1 – Cos2x + aCosx + 2a2 – 3a = 0;

Cos2x – aCosx – (2a2 – 3a + 1) = 0.

        Введем новую переменную: t = Cosx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид  t2 – at – (2a2 – 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.

D = a2 + 4(2a2 – 3a + 1) = a2 + 8a2 – 12a + 4 = 9a2 – 12a + 4 = (3a – 2)2,

t1,2 =    t1 =   t2 =

        Так как  , то  t1 t2.

Случай 1.

 t1 t2 , тогда  ,   а =   и  t1 t2 = .  В этом случае уравнение  Cosx =   имеет корни.

Случай 2.

t1 t2. Чтобы уравнения  Cosx = t1  и  Cosx = t2 не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий:  t1 < -1,   t2 > 1,   t2 < -1  и  t1 > 1. Рассмотрим каждое из этих условий.

Условие 1.  t1 < -1.

       

 

        Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие  t1 < -1.

Условие 2.  t2 > 1.

              

                          

                      

        Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие  t2 > 1.

Условие 3.   t2 < -1  и  t1 > 1.

           

1.)         a         

2.)            a     

        Таким образом,         a  

        Ответ. Графики функций  y = Sin2x + aCosx  и  y = 3a – 2a2  не имеют общих точек, если

a  

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические уравнения с модулем и радикалом.

1.           Sin2x +

Решение.

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx

Sin2x  +  Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx,  t тогда  t2 + t– 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:  t1 + t2 =1,  t1t2 = 2, значит,  t1 =2,  t2 = 1.

Число  2 не принадлежит промежутку  .

Sinx = 1 (особый случай),

x =   (

Случай 2.  Sinx

Sin2x - Sinx – 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx,  t тогда  t2 t – 2 = 0 – приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:  t1 + t2 = 1,  t1t2 =2, значит,  t1 = 2,  t2 =1.

Число 2 не принадлежит промежутку  .

Sinx =  1 (особый случай),

x =    (

Объединяя две серии решений, получаем, что  x =

Ответ.  x =

2.        = 2Sin2x – 1.

Решение.

        = 2Sin2x – 1,

        2Sin2x – 1,

        = 2Sin2x – 1,

         2Sin2x + 1 = 0,

        ) + 1 = 0,

        2  +  1 = 0.

     Раскроем модуль.

     Случай 1.  Cosx

     2Cos2x  + Cosx – 1 = 0.

     Введем новую переменную:  t = Cosx,  t тогда  2t2 + t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

     D = 1 + 8 = 9,

     t1 =t2 =

     Cosx = ,                                                                                    Cosx =1 (особый случай)

     x =                                                                 x =

     (                     ( не принадлежит промежутку

                                                                                                   

 

     Случай 2.  Cosx 

     2Cos2x  - Cosx – 1 = 0,

     Введем новую переменную:  t = Cosx,  t тогда  2t2 -t – 1 = 0 – квадратное уравнение.

     D = 1 + 8 = 9,

     t1 =t2 =

     Cosx = ,                                                                                    Cosx = 1 (особый случай)

     x =                                                                 x =

     (                     ( не принадлежит промежутку

                                                                                                   

Объединяя две серии решений, получаем, что     x =   

Ответ.  x =