Тема: Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Цель урока: Вывести формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Задачи:

-        Привить навыки вычисления суммы п членов арифметической прогрессии;

-        Развить умения и применять её при решении задач;

-        Воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели, содействовать воспитанию интереса к предмету.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Формы работы на уроке: общеклассная, индивидуальная.

Оборудование: слайды с заданиями и ответами, тесты, карточки с заданиями.

Ход урока:

I.                   Организационный момент.(3 мин)

Сообщение  цели и задач урока.

Эпиграф нашего урока вы видите на доске.

Учитель:     Закончился двадцатый век.

                     Куда стремится человек?

                     Изучены космос и  море,

                    Строенье звезд и вся Земля.

                    Но математиков зовет

                   Известный лозунг:

                 «Прогрессио – движение вперёд».

II.                Актуализация базовых знаний.

1.      На экране слайд №4(3мин)

-       Вам предлагается 10 последовательностей. Под какими номерами записаны последовательности, являющиеся арифметическими прогрессиями? (слайд №4)

1)      1; 2; 4; 8; 16;...

2)      1; 2; 3; 4; 5; ...

3)      1;11; 21; 31; ...

4)      4; -4; 4; -4; ...

5)      7; 7; 7; 7;...

6)      0,5; 1; 1,5; 2; ...

7)      1; 4; 9; 16; ...

8)      12; 6; 3; 1,5; ...

9)      3; 9;  27; 81;...

10)    -2; 8; -12; 28; ...

Ответы: 2, 3,5, 6. (слайд №5)

2.    Вопросно-ответная беседа.(3 мин)

а)      Какая  последовательность называется арифметической прогрессией?

       (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа) .

б)      Что называется разностью арифметической прогрессии?

      (Любой член прогрессии отнять от его последующего члена называется разностью арифметической прогрессии, и обозначается буквой d).

в)      Какова формула п-го  члена арифметической прогрессии?

      (an= a1+ (n-1) d).  (Слайд №6)

3.    Практическая работа. (7 мин)

Найдите разность арифметической прогрессии. (Слайд №7.)

2; 4; 6; …                   (2)

-1; 5; 11; …                (6)

-3; -6; -9; …               (-3)

Найдите a и  d. (слайд №8)

          an = 2 -  3n;               ( а1 = -1; d = -3;)

         an   =  5n– 7 ;                (а1 = -2; d = 5;)

                      

Слайд № 9.

У арифметической прогрессии первый член равен 9, второй 3.

 Найдите d.   (ответ: -6)

Слайд №10.

У арифметической прогрессии первый член равен 2, второй -2.

 Найдите d.    (ответ: -4)

Слайд №11.

У арифметической прогрессии первый член равен 5, второй 10.

 Найдите d.    (ответ: 5)

III.               Изучение новой темы. (8мин)

1)   Вступительное слово учителя.

а)      Краткий исторический обзор. (Слайд № 12 портрет Карла Гаусса (1777- 1855г.))

Немецкий математик Карл Гаусс проявил блестящие математические способности  уже в школе. Однажды учитель предложил ученикам сложить вместе все числа от 1 до 100. Не успел учитель прочитать условие задачи, как он поднял руку: «Готово!» весь класс был поражен быстроте, с какой этот ученик произвел  подсчет. Как он считал?(слайд 13)

 Обозначив искомую сумму через S и записав её дважды, расположив в первом случае слагаемое в порядке возрастания, во втором – в порядке убывания. (слайд № 14)

S= 1+2+3+…+98+98+100

S= 100+99+98+…+3+2+1

Сложив равенства почленно,  получил

2 S= 101*100

S=101-100   = 5050

         2

1+2+3+…+99+100=5050.

б)        С помощью аналогических рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. (Слайд №15)

Обозначив сумму п первых членов через Sп и запишем сумму дважды.

Sп =a1 +a2+a3+…+an

Sп= an+an-1+ … +a1   

сложив полученное равенство получим:  

2Sn= (a1+an)* n.

Разделив обе части равенства на 2, получим формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:

     (a1+an) 

     2                          (1)

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы представленной в другом виде.

Подставим в формулу (1) вместо an  выражение. аn= a1+ (n-1) dполучим (слайд№16):

    2a1+(n-1) d   

                           2                    (2)

в)     Приведем примеры на вычесления суммы членов арифметической прогрессии. (слайд №17)

4; 5,5; …             

 а1 =4; d = 1,5

S30-?

               (a1+an) 

                     2                         

а30 =   a1+ (n-1)d= 4+29*1,5=47,5

 

       4+47,5

                  2

IV.              Закрепление. (13 мин)

1)             № 185(а) (слайд 18)

   №185  (слайд 19)

      103;101;…

       S8 -?

Решение:

     а1 =103;  d = -2

     а8 = 103+7*(-2)=103-14=89

            103+89

                  2

Ответ: S8 = 768.

 

2)           15- смена РУОЦ «Балдаурен» называется республиканский детский экологический альянс «Охраняй и преумножай, береги и уважай».

Экология – наука о природном  доме, который есть у каждого растения, животного.

Все, что окружает нас в природе – это наш дом.  Все знаете, какое важное значение имеет вода в природе, но к сожалению  люди загрязняют её и расходуют неэкономно.

Задача. (слайд 20)

В квартире подтекает водопроводный кран. За 1 час вытекает  0,5 л воды,    за 2 часа   - 1 л.

Сколько  воды вытекает из неисправного  крана за сутки (24 часа)?

Решение:

0,5; 1; …

d = 1-0,5 =0,5;

а24 = a1+23d= 0,5+23*0,5=12л.

Ответ: 12 литров.

 

Вы все поняли, экология очень тесно связана с математикой, ведь всем нужны числовые значения. Поэтому, чтобы стать экологами, мы сначала должны научиться вычислять.

 

3)           Интересные задачи из книги «Курс чистой математики».

Задача. (слайд 21)

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 10 рублей, за вторую 30 рублей и т.д. Всего воин получил 170 рублей.

Сколько ран у воина?

Решение.

10; 30;…   

d = 30-10=20

170= 10+(n-1) *20

20n -20=170-10

20n=160+20

20n=180

n=9

Ответ: 9 ран.

 

V.                 Проверка уровня усвоения материала на уроке. (5 мин)

В конце урока тест по проверке усвоенного материала.

(тест на два варианта). (слайд 22)

Тест по теме: «Арифметическая прогрессия»

I вариант.

1)   В арифметической прогрессии найти:

            1.а1 =4;  d = -5;  а10 =?

А)-46;  В) -41;  С) 49

            2. а1 =-3; а6 = 7;  d =?

А)-2;  В)2;  С)3

            3. а1 =4;  d = 2;  S12 =?

А)150;  В)100;  С)180

            4.Число 46 является  членом прогрессии

                а1 =2;  d = 4;

                 Найдите номер этого числа.

А)11;  В)12;  С)13

5. а3 =15; а5= 25;  а4 =? 

А)20;  В)15;  С)25

 

II вариант.

2)   В арифметической прогрессии найти:

            1.а1 =3;  d = -2;  а12 =?

А)-18;  В) -19;  С) -20

            2. а1 =2; а6 = -8;  d =?

А)-1;  В)-2;  С)-3

            3. а1 =5;  d = 3;  S10 =?

А)170;  В)180;  С)185

            4.Число 30 является  членом прогрессии

                а1 =2;  d = 2;

                 Найдите номер этого числа.

А)15;  В)14;  С)13

5. а4 =3; а6= 7;  а5 =? 

А)2;  В)5;  С)4

 

(Слайд  23)    Ключ к тестам.

Вариант №1                                                 Вариант №2

В, В, С, В, А.                                                    В, В, С, А, В.

 

VI.               Итог урока. Оценить ответы учащихся.(2 мин)

 

VII.            Домашнее задание:  § 11   № 185(б),186. (слайд 24)

 

                                Спасибо за урок! (слайд 25)

 

Тест по теме: «Арифметическая прогрессия»