Чтобы решить уравнение, содержащую переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используется его определение:

│х│={█( х,если х≥0 @ @-х,если х<0 )┤

На практике это делается так:

         Находят критические точки, т.е. значение переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

         Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.

         На каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляет все решения, рассматриваемого уравнения.

Пример 1.Решим уравнение │х – 5│= 3.

   Так  как модуль х – 5 равен 3, то по определению модуля числа значение выражения под знаком модуля равно либо 3, либо – 3.

   Имеем совокупность двух уравнений:

              х – 5 = 3            или       х – 5 = - 3

Решив их, найдем, что х1 = 8,  х2 = 2.

Вообще уравнение │f (х)│ = b, где b – положительное число, равносильно совокупности двух уравнений:

              f (x) = b     или     f (x) = -b.

Рассмотрим решение уравнений вида   │f (x)│= g  (x).

 Если Х0 – корень этого уравнения, то │f (x0)│= g  (x0). – Верное равенство, при этом g (x0)≥0, так как модуль числа всегда неотрицательное число. Отсюда следует, что  f(x0) = g(x0) или       f(x0) = - g(x0) Верно и обратное: если g (x0)≥0  и  f(x0) = g(x0)  или      f(x0) = - g(x0), то │f(x0)│ = g(x0).

Значит, уравнение │f(x)│ = g(x) равносильно совокупности двух систем:

(█(█({█(f(x)= g(x),@g (x)≥0;)┤@{█(f(x)=-g(x)@g (x)≥0)┤ ))┤

Пример 2. Решить уравнение │х +3 │ = 2х – 1.

Решение. Критическая точка находится после решения уравнения

        х + 3 = 0,   х = - 3.