1. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 7 и 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Теорема о биссектрисе угла треугольника.

Ответ. r = 93/25.

2. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна a.

Решение. Учебник геометрии, в нем - формулы, их надо учить и запомнить.

Ответ. .

3. Равнобочная трапеция с острым углом  описана около окружности радиуса r. Найдите площадь трапеции.

Решение. Найдем сразу боковую сторону, следовательно - среднюю линию.

Ответ. .

4. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.

Решение. Сторона шестиугольника равна R. Треугольник ACD - прямоугольный.

Ответ. .

5. Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.

Решение. Пусть O - центр описанной окружности треугольника CKE. ,  .

6. Пусть a - длина стороны правильного пятиугольника, d - длина его диагонали.

Докажите, что d2 = a2 + ad.

Решение. Т.к. BC - касательная к описанной окружности треугольника CKE (см. задачу 5), то .