Урок 1. Пирамида. Площадь полной поверхности пирамиды.

 

Цель: познакомить с новым видом многогранника

Задачи: образовательная – дать понятие пирамиды, её основных элементов,  понятие полной поверхности пирамиды;

              развивающая - развивать умение самостоятельно мыслить, делать выводы;           

              воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

 

Вид урока: комбинированный:  лекция и практикум по решению задач.

Средства обучения: презентация.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, модели пирамид, интерактивная доска.

 

План урока:

1.     Организационный момент (2 мин).

2.     Объяснение нового материала (20-25 мин).

3.     Закрепление материала (15 мин).

4.     Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

 

Ход урока:

 

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Пирамида», сегодня на уроке мы должны познакомиться с новыми видом многогранника, с его основными элементами, научиться решать простейшие задачи на пирамиду. (Демонстрируется слайд № 3) Начнем с истории. Слово пирамида нам знакомо с детства, это детская игрушка, а также при слове пирамида мы вспоминаем о египетских пирамидах - величайших архитектурных памятниках, которые историки относят к эпохе Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы (оттуда и название), предположительно построенные в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид (на ноябрь 2008 года).

А теперь давайте познакомимся с пирамидой как с многогранником. (Демонстрируется слайд № 4). Рассмотрим многоугольник и точку, не лежащую в плоскости этого многоугольника, соединим отрезками точку и вершины многоугольника, получим треугольники. Многогранник, состоящий и многоугольника и треугольников, называется пирамидой.

Как же называются основные элементы пирамиды? (демонстрируется слайд №5).

В зависимости от вида многоугольника существуют разные виды пирамид (демонстрируется слайд № 6).

Как и призма, пирамида имеет поверхность. Из чего же состоит поверхность пирамиды? Как найти площадь полной поверхность пирамиды? (демонстрируется слайд № 7). Таким образом, говоря о полной поверхности пирамиды, мы подразумеваем площадь основания и площадь боковой поверхности, которая складывается из суммы площадей боковых граней. Так  как в основании пирамиды лежит многоугольник, а боковыми гранями являются треугольники, то чтобы найти площадь основания или боковой грани, нужно знать формулы.

А какие формулы вы знаете для нахождения площади треугольника и  многоугольника?

3. Учитель: А теперь, давайте, выполним математический диктант (демонстрируется слайд № 8). Ученики выполняют диктант в тетрадях самостоятельно, а затем проводится фронтальная проверка.

Учитель: А теперь решим устно задачи (демонстрируется слайд № 9).При решении задач необходимы дополнительные построения, поэтому можно из презентации вызвать интерактивный режим (если есть в наличии интерактивная доска) и проводить построения,  параллельно решая задачу на слайде.

Задача 1.В основании пирамиды квадрат. Высота пирамиды равна стороне квадрата и проходит через одну из его вершин. Найти двугранные углы при основании.

Решение: боковые грани АЕО и СЕО перпендикулярны основанию, так как ЕО высота. Следовательно, двугранные углы при ребрах АЕ и СЕ прямые. Треугольники АЕО и СЕО равнобедренные, так как высота ЕО равна стороне квадрата. Значит углы ОСЕ и ЕАО равны 45º, следовательно,  двугранные углы, линейными углами которых они являются, тоже равны 45º.

Задача 2. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника и равна 12 см. Найти высоту пирамиды.

Решение: боковые ребра пирамиды равны и высота пирамиды общая, следовательно, и равны их проекции и они являются радиусами описанной около основания окружности. Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Треугольник АВА2 равносторонний, его высота ВВ1 является медианой, а также и высотой пирамиды. По теореме Пифагора находим, что высота равна .

(набор задач не является обязательным, учитель вправе сам выбрать задачи в зависимости от уровня подготовленности класса)

Учитель: Решим задачи из учебника № 239.

Задача № 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна   5                     см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Решение: (чертеж к задаче выполняется на интерактивной доске). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Δ АВО прямоугольный с катетом 4 см и гипотенузой 5 см, отсюда по теореме Пифагора находим

АО ===3 см. Δ  ASOпрямоугольный,  так как  SO- высота пирамиды. Отсюда по теореме Пифагора находим боковое ребро AS===см. Δ SOBпрямоугольный, следовательно, SB=== см. SC=AS, SD=SB.

Задача № 241. Основанием пирамиды является параллелограмм со  сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна  2 м. Найдите площадь полной поверхности. 

 

Решение: (чертеж к задаче выполняется на интерактивной доске или можно подготовить шаблон заранее). Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности. По теореме косинусов найдем косинус острого  угла параллелограмма =,, отсюда S=4*5* м2. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, так как у параллелограмма противоположные стороны равны,  то и боковые грани, опирающиеся на эти стороны, тоже будут равны, поэтому достаточно найти площади только двух граней. Найдем высоту параллелограмма 12=5*H1, отсюда H1= м . Найдем высоту боковой грани по теореме Пифагора, она будет равна = м. Найдем другую высоту параллелограмма 12=4*H2, отсюда H2=3 м. Найдем высоту другой боковой грани, она будет равна  м. Найдем теперь площадь боковой поверхности, она равна  S= м2. Площадь полной поверхности равна S = 12+10+2м2.

4. Учитель: Давайте подведем итог.

Что такое пирамида?

Назовите основные элементы пирамиды (на модели).

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

Учитель оценивает работу учащихся. При оценивании учитывается полнота, логически правильный, сформулированный ответ.

Задает домашнее задание: п. 28, задача из учебника № 242.

 

Урок 2. Правильная пирамида.

 

Цель: познакомить учащихся с правильной пирамидой.

Задачи: образовательная – дать понятие правильной пирамиды, вывести формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды;

              развивающая - развивать логический стили мышления; умение самостоятельно мыслить, делать выводы;           

              воспитательная –  дисциплинированность, аккуратность.

 

Вид урока: комбинированный:  лекция и решение задач.

Средства обучения: презентация.

Оборудование: модели пирамид, компьютер, экран, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

 

 

План урока:

1.     Организационный момент (2 мин).

2.     Теоретический опрос (5-7 мин).

3.     Объяснение нового материала (15- 20 мин).

4.     Закрепление материала (15 мин).

5.     Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

 

Ход урока:

 

1.     Учитель организует учащихся к уроку.

2.     Учитель: Что такое пирамида?

Назовите основные элементы пирамиды (на модели).

Какие виды пирамид вы знаете?

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

3.    Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Правильная пирамида», сегодня на уроке мы должны познакомиться с новым понятием (демонстрируется слайд № 10). Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник.

Какие правильные многоугольники вы знаете?

У правильной пирамиды боковые ребра равны, боковые грани равные  равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой. Высотой правильной пирамиды называется отрезок, соединяющий вершину и центр основания. Центром основания правильного многоугольника является центр описанной около него окружности.

Можно легко доказать, что боковые ребра  равны, так как они являются гипотенузами прямоугольных треугольников, в которых один катет (высота пирамиды) общий, а другие катеты равны как радиусы описанной окружности, отсюда по теореме Пифагора каждое боковое ребро равно .

4.Учитель: Вспомните формулы нахождения сторон правильных многоугольников и радиусов вписанной и описанной окружностей.

; ; где n – количество сторон в многоугольнике.

Учитель: решим задачи (демонстрируется слайд № 11)

Задача.Высота правильной четырехугольной пирамиды равна половине стороны основания. Найти двугранные углы при основании.

Решение: пусть сторона основания равна а, тогда высота АА5 = а/2. Радиус вписанной окружности А5 А6=а/2 . Треугольник АА5 А6 равнобедренный. Угол АА6 А5 =45º.

 

Учитель: А теперь выведем формулу боковой поверхности правильной пирамиды (демонстрируется слайд № 12).

Скажите, из чего складывается площадь боковой поверхности пирамиды?

Так как боковые грани правильной пирамиды равнобедренные треугольники, то у них равны высоты. Площадь каждой грани находиться по формуле где l – апофема. Боковых граней несколько, сумма длин сторон основания дает периметр. Таким образом, получаем формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Учитель: Решим задачи на нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды (демонстрируется слайд № 13).

Задача. Найти площадь боковой поверхности правильной    

а) четырехугольной пирамиды со стороной основания 6, высотой 4.   

б) треугольной пирамиды со стороной 6, высотой 1.

Решение: а) найдем апофему по теореме Пифагора, , , l= 5. А теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды S=0.5*(6*4)*5=60.

б) найдем апофему по теореме Пифагора ,  , l=2. А теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды S=0.5*(6*4)*2=24.

Учитель: Решим задачу № 255 из учебника.

Задача № 255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: Найдем радиус вписанной окружности   см. Высота боковой грани (апофема) является медианой и биссектрисой, найдем ее  см. Найдем высоту пирамиды  см.

5.Учитель: Давайте подведем итог.

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке).

Задает домашнее задание: п. 29, задача из учебника № 258.

 

Урок 3. Усеченная пирамида.

 

Цель: ознакомить учащихся с усеченной пирамидой.

Задачи: образовательная – познакомить с видами сечений, дать понятие усеченной пирамиды, познакомиться с её элементами, вывести формулу боковой поверхности усеченной пирамиды;               

                 развивающая - развивать логический стили мышления; умение самостоятельно мыслить, делать выводы.           

                воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

 

Вид урока:  лекция и решение задач.

Средства обучения: презентация.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

 

План урока:

1.     Организационный момент (2 мин).

2.     Теоретический опрос (5 - 7 мин).

3.     Объяснение нового материала (15 - 18 мин).

4.     Закрепление материала (15 мин).

5.     Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

 

Ход урока:

 

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Какая пирамида называется правильной?

Докажите теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

3. Учитель:Рассмотрим сечения пирамиды (демонстрируются слайд № 14, 15). Сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания, называются диагональными. Они имеют вид треугольников. Существуют сечения, которые параллельны основанию (демонстрируется слайд № 16). Они, как правило, имеют вид многоугольника подобного тому, который находится в основании. Решим задачу (демонстрируется слайд № 17):

Задача. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию через середину высоты. Площадь основания равна Q. Найти площадь сечения.

Решение: так как сечение проходит через середины боковых ребер, то каждая сторона многоугольника (сечения) является средней линей боковой грани и равна половине стороны многоугольника, находящегося в основании. То есть можно сказать, что основание и сечение, подобные многоугольники, к=2. А площади подобных фигур относятся квадрат коэффициента подобия. Значит, площадь сечения равна Q/4.

 Дадим понятие усеченной пирамиды (демонстрируется слайд № 18). Пусть дана пирамида. Проведем плоскость параллельную основанию, которая пересечет боковые ребра. Наша секущая плоскость разделяет нашу пирамиду на два многогранника: один - пирамида, подобная данной, а второй многогранник, заключенный между сечением и основанием, называется усеченной пирамидой. Назовем основные элементы усеченной пирамиды (демонстрируется слайд № 19). Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

Если усеченная пирамида получена сечением правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой, у которой есть свои особенности в названии элементов  (демонстрируется слайд № 20). Так как в правильной усеченной пирамиде, боковые грани являются равнобедренными трапециями  и равны между собой, то площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

4. Учитель: проведем математическое исследование (демонстрируется слайд № 21). Учащиеся выполняют исследование самостоятельно, а затем сообщают о полученных результатах в классе (можно данное исследование дать на дом).

Учитель: Решим задачу № 269.

Задача № 269. Стороны основания правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Решение: боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды является равнобедренной трапецией, её высота (апофема) равна  дм. Найдем радиусы вписанных окружностей в нижнее и верхнее основания,  дм,  дм. Высота усеченной пирамиды является высотой прямоугольной трапеции, где основания радиусы вписанных окружностей, а боковая сторона апофема. Отсюда высота усеченной пирамиды равна  дм.

 

    5. Учитель: Давайте подведем итог.

Что такое усеченная пирамида?

Какая усеченная пирамида называется правильной?

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке),задает домашнее задание: п. 30.задача из учебника № 268.

 

Урок 4. Решение задач.

 

Цель: повторить и закрепить изученный материал в ходе решения задач.

Задачи: образовательная – научить практическому применению знаний учащихся по теме к решению задач;              

                 развивающая - развивать  умение логически мыслить, делать выводы;           

                воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

 

Вид урока:  практикум по решению задач.

Оборудование: интерактивная доска.

План урока:

1.     Организационный момент (2 мин).

2.     Теоретический опрос (5 мин).

3.     Практикум по решению задач (30 - 35 мин).

4.     Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

 

Ход урока:

 

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Ответьте на следующие вопросы:

Что называется высотой пирамиды?

Что такое апофема?

Какая пирамида называется правильной?

Учитель:  Ответьте на вопросы, ответ обоснуйте:

Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

3.Учитель: Сегодня мы будем решать задачи на нахождение длин элементов пирамиды (по своему усмотрению учитель может выбрать другие задачи).

Задача № 252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АH=9 см. Известно также, что DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение: найдем площадь основания  см2. Найдем сторону равнобедренного треугольника АВ = см. Найдем радиус описанной окружности  см. Найдем высоту пирамиды H=см.

Задача № 256. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна т. А плоский угол при вершине равен α. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Решение: апофема пирамиды является медианой и биссектрисой, найдем апофему, она равна . Найдем боковое ребро . Найдем радиус вписанной окружности, он равен . Найдем высоту пирамиды . Найдем угол между боковой гранью и основанием . Найдем площадь боковой грани S=,  через площадь и сторону найдем другую высоту боковой грани h=m*cos. Половина диагонали равна .  Две высота боковых граней будут образовывать двугранный угол при боковом ребре, найдем половину этого угла , отсюда весь угол равен 2arcsin(.

Задача № 267. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

   

Решение: рассмотрим треугольники: боковую грань и треугольник, отсекаемый сечением. Так как сечение параллельно основанию, то соответственные углы при параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку, отсюда следует, что боковое ребро делится на пропорциональные части. Аналогично доказывается, что треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом вписанной в основание окружности подобен треугольнику, отсеченному от данного сечением.

 

4.Учитель: Давайте подведем итог.

Чему научились сегодня на уроке?

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке), задает домашнее задание: задача из учебника № 253, № 259.

 

Урок 5. Решение задач.

Цель: научить практическому применению знаний учащихся по теме к решению задач.

Задачи: образовательная – закрепить навыки в решении задач на нахождение площади поверхности пирамиды;              

                 развивающая - развивать  умение логически мыслить, делать выводы;           

                воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

 

Вид урока:  практикум по решению задач.

Оборудование: интерактивная доска.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин).

2.  Теоретический опрос (5 мин).

3. Практикум по решению задач (30 - 35 мин).

4.     Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

 

Ход урока:

 

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Ответь на следующие вопросы:

Из чего складывается поверхность пирамиды?

Как найти боковую поверхность правильной пирамиды?

Как найти боковую поверхность усеченной пирамиды?      

3.Учитель: Сегодня мы будем решать задачи на нахождение площади поверхности пирамиды (по своему усмотрению учитель может выбрать другие задачи).

Задача № 243. Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: площадь боковой поверхности пирамиды складывается из суммы площадей боковых граней. Две грани будут равны и являются прямоугольными треугольниками, их площадь равна  см2. Третья грань является равнобедренным треугольником. Найдем высоту основания, она равна  см. Найдем высоту боковой грани, она равна  см. Отсюда, площадь боковой грани равна см2. Площадь свей поверхности равна  см2.

Задача № 264. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, поведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение: периметр основания равен 6а. Большая диагональ основания равна 2а, площадь сечения равна , а площадь боковой грани равна , отсюда . Следовательно, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30º. Радиус вписанной в основание окружности равен , таким образом получаем, что площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна см2.

Задача № 270. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Решение: две грани усеченной пирамиды будут являться прямоугольными трапециями и будут равны между собой, их  площадь равна  см2. Третья грань является равнобедренной трапецией, найдем высоту этой грани, а затем и площадь. Боковое ребро пирамиды равно  см, высота боковой грани равна  см, площадь боковой грани равна  см2. Таким образом, площадь боковой поверхности усеченно пирамиды равна 16 см2.

4. Учитель: Давайте подведем итог.

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке), задает домашнее задание: задача из учебника № 257, № 266.

 

 

Урок 6. Самостоятельная работа.

Цель: проверить уровень освоенности материала по данной теме, умение решать различные учебные задачи

Задачи: образовательная – проконтролировать уровень ЗУНа у учащихся;;              

                 развивающая - развивать умение самостоятельно мыслить, делать выводы.           

                воспитательная – дисциплинированность, аккуратность.

 

Методические рекомендации к уроку: учащимся предлагаются дифференцированные задания  по вариантам.

При оценивании работы учитывается:

- самостоятельность;

- объём выполненной работы.

 

Вариант 1 .

1.                В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания равна  см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2.                Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС (ےС =90º), ВС = а, ےА=30º. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60º. Найдите высоту пирамиды.

3.                В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые грани наклонены к нему под углом 60º. Найдите площадь сечения, поведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани.

 

Вариант 2.

1.                 В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания АВС, а грань МВС составляет с ним угол 60º, АВ=АС=10, ВС=16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2.                 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота равна 2а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

3.                 В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.