Цикл уроков по алгебре в 8 классе

по теме: «Числовые неравенства»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2012 г.

У р о к  65
ТЕМА: числовые неравенства

Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести определение понятия числового неравенства; формировать умение использовать данное определение для сравнения чисел и доказательства неравенств, развивать логическое мышление, воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Объявить результаты контрольной работы, выделить типичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.

2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся не справились.

III. Актуализация знаний.

1.Вспомним правило  сравнения действительных чисел. Определению понятий «больше» и «меньше» (геометрически) соответствует взаимное расположение точек на координатной прямой:

 - из двух чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее,

-  меньше то, которое расположено левее,

 -  всякое отрицательное число меньше нуля.

2.Вспомним правило  сравнения чисел:

а)всякое отрицательное число меньше любого положительного числа,

б)из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель (следовательно, для сравнения обыкновенных дробей, необходимо сперва привести их к общему знаменателю),

в)из десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть (если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую цифру в разряде),

г) чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, приведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две десятичные дроби.

д)из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

IV. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:

а) –15 * 0;                б) 3 * 0;                    в)  * 2;

г)  * ;                 д) 1,25 * 1 ;                е) 0,6 * ;

ж)  * ;           з) –0,07 * ;            и) –5,6786 * –5,679.

2. Сравните с нулём значение выражения:

а) (–6,3)3;         б) (–2,1)4;         в) 05;         г) ;         д) .

V. Объяснение нового материала.

1. Мы рассмотрели с вами достаточно много примеров сравнения, как действительных чисел, так и просто чисел. Возникает потребность в таком способе сравнения, который позволил бы охватить все рассмотренные случаи, т.е. использовать универсальный способ сравнения чисел. Удобнее и проще всего проводить сравнение числа с нулём, поэтому вводится следующее 

о п р е д е л е н и е:  число а больше числа b, если разность а – b – положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b – отрицательное число.

Это определение можно занести в таблицу

Разность чисел

а – б ˃ 0

а – б ˂ 0

а – б = 0

Соотношение между числами

а ˃ б

а ˂ б

а = б

 

2. Рассматриваем рис. 22 на (с. 145, рис.21-старый учеб.) с. 153 учебника и получаем геометрическую интерпретацию нового определения.

3. Разбираем пример № 1 на с. 153( с.145) учебника. Вывод: при любома разность отрицательна.

VI. Формирование умений и навыков.

1)                    Непосредственное применение определения числового неравенства (сравнение чисел);

1. № 724 (№711), № 725 (№ 712) (устно).

2) Доказательство числовых неравенств (определение верности неравенства при любом значении, входящей в его запись буквы).

2. № 726 (№ 713).

Р е ш е н и е

При а = –5

3а(а + 6) = 3 · (–5) (–5 + 6) = –15,

(3а + 6)(а + 4) = (3 ·(–5) + 6)(–5 + 4) = –9;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 0

3а (а + 6) = 3 · 0 (0 + 6) = 0,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 0 + 6) (0 + 4) = 24;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

При а = 40

3а (а + 6) = 3 · 40 (40 + 6) = 5520,

(3а + 6) (а + 4) = (3 · 40 + 6) (40 + 4) = 5544;

значит, 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4).

Докажем, что 3а(а + 6) < (3а + 6)(а + 4) при любом значении а. Составим разность выражений:

3а(а + 6) – (3а + 6)(а + 4) = 3а2 + 18а – 3а2 – 12а – 6а – 24 = –24.

При  любом а рассматриваемая  разность  отрицательна,  значит, 3а(а +
+ 6) < (3а + 6)(а + 4).

3. № 728 (№ 715) (а, б), № 729 (№ 716) (а, г), № 730 (№ 717) (а, в).

Р е ш е н и е

№ 728.

а) 3(а + 1) + а – 4(2 + а) = 3а + 3 + а – 8 – 4а = –5 < 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) (7p – 1)(7p + 1) – 492 = 49p2 – 1 – 49p2 = –1 < 0, значит, неравенство верно при любом значении р.

№ 729.

а) 2b2 – 6b + 1 – 2b(b – 3) = 2b2 – 6b + 1 – 2b2 + 6b = 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении b.

г) 8y(3y – 10) – (5y – 8)2 = 24y2 – 80y – 25y2 + 80y – 64 = –y2 – 64 = –(y2 +
+ 64) < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

Надо обратить внимание учащихся, что если у2 + 64 > 0 для любого у, то противоположное ему по значению выражение –(у2 + 64) < 0.

№ 730.

а) 4x(x + 0,25) – (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 + x – 4x2 + 9 = x + 9.

Выражение  может  быть  как  положительным,  так  и  отрицательным, а также  равным  нулю  в  зависимости  от  х,  значит,  неравенство  не  верно  при любых х.

в) (3x + 8)2 – 3x(x + 16) = 9x2 + 48x + 64 – 3x2 – 48x = 6x2 + 64 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

4. № 732(№ 719) (а, б).

Р е ш е н и е

а) 10а2 – 5а + 1 – а2 – а = 9а2 – 6а + 1 = (3а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

б) 50а2 – 15а + 1 – а2 + а = 49а2 – 14а + 1 = (7а – 1)2 ≥ 0, значит, неравенство верно при любом значении а.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте правила сравнения положительных чисел, отрицательных, разного знака.

– Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей, десятичных.

– Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел. Приведите геометрическую интерпретацию.

Домашнее  задание:  1.Новый учебник: №№ 727, 729, 730 (б, г)2.Старый учебник: № №714, 716, 717(б,г)

 

 

У р о к  66
ТЕМА: ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства, развивать психические процессы, воспитывать культуру общения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор).

1. Сравните числа a и b, если a – b равно:

а) –3;       б) 0,2;       в) 0;       г) (–3)6;       д) b – а;       е) 2 – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2;       1 ;       1 ;       1,4;       1 .

3. Сравните числа:

а)  и 6 ;                  в)  и ;

б) 3 и ;                  г)  и 14 .

III. Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т  1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)2 – 2x.

В а р и а н т  2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)2 + 3x> 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y2 + 12y – y – 2 – 6y2 – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)2 + 2x = 4x + 8 – x2 – 6x – 9 + 2x = –x2 – 1 =
= –(x2 + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т  2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y2 + y – 2y – 1 – 4y – 6y2 + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)2 + 3x – 7(1 – x) = x2 – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x2 + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154(145-146) учебника.

2. № 731(№ 718) (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a2 + ab – ab = a2 ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bc – b2 – c2 = –(b2 – 2bc + c2) = –(b – c)2 ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733 (№ нет- вынести условие на доску ).

Р е ш е н и е

 

≥ 0
при а> 0 (так как (а – 2)2 ≥ 0 и а> 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (№ 731) (б), № 736 (№ 718) (а), № 737( нет).

Р е ш е н и е

№ 735.

б)  ≤ 0
(так как (с – 1)2³ 0, с2 + 1 > 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

№ 736.

а) а2 – 6а + 14 = а2 – 2 ∙  3 ∙  а + 9 + 5 = (а – 3)2 + 5 > 0 при любом значении а.

№ 737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а2 – 2а + 3  =  а2 – 2 ∙  1 ∙  а + 1 + 2 = (а – 1)2 + 2 > 0  при  любых  значениях а.

2) а2 + 6 – 4а = а2 – 2 ∙  2 ∙  а + 4 + 2 = (а – 2)2 + 2 > 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а2 = –(а2 – 2 ∙  2 ∙  а + 4) = –(а – 2)2 ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а2 = –(а2 – 2 ∙  4 ∙  а + 16 + 54) = –((а – 3)2 + 54) < 0 при любых значениях а.

О т в е т: 3.

5. № 738( нет) (а, в), № 739 (№ 723), № 741( № 725).

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

№ 738.

Пусть a и b – положительные числа и а2>b2.

По определению а2 – b2> 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (а – b)(а + b) > 0.

Сомножитель  a + b> 0  (так как a> 0 и b > 0),  значит,  и  сомножитель a – b> 0, то есть a>b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

( + )2 – ( + )2 = 6 + 2 + 3 – 7 – 2 – 2 =
= 2( – ) > 0.

Значит, по доказанному выше свойству: + > + .

в) ( – 2)2 – ( – )2 = 5 – 4 + 4 – 6 + 2 – 3 = 2 –
– 2 = 2( – ) < 0.

Значит, по доказанному выше свойству: – 2 < – .

№ 739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сначала попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

 

 ≤ 0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно  ≤  и верно  ≤  для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

№ 741.

Даны числа 0; 1; 2; 3.  Получили  числа  k; k + 1; k + 2; k + 3.  Сравним произведения  k · (k + 3)  и  (k + 1)(k + 2).  Составим  разность  этих  выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k2 + 3k – k2 – 2k – k – 2 = –2 < 0, значит, k · (k +
+ 3) < (k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

№ 742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Коля

VК = 5 км/ч

tК =  ч

П  С

½ пути                           ½ пути

Миша

 

 

 

t =  ч

tМ =  ч

 

VМ = 5,5 км/ч

VМ = 4,5 км/ч

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность tК – tМ = < 0. Значит,  Коля  затратил  на  путь  меньше  времени  и  пришёл  на  станцию раньше.

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Дайте определение числового неравенства.

– Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

– Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: 1. Новый учебник: №№ 735 , № 736, № 745(а)

                                   2. Старый учебник: №№ 721,722,728(а)

 

У р о к  67
ТЕМА: свойства числовых неравенств

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач, развивать логическое  мышление, память , внимание, воспитывать усидчивость , аккуратность.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа (вынести на доску через мультимедийный проектор

(5 мин)).

1. Сравните числа:

а)  и ;                                  в)  и ;

б) 0,4