МБУЗ  «Михайловская средняя школа»

Проект на тему :» Формирование творческих способностей          учащихся в процессе обучения математике путем организации исследовательской деятельности .»

                                                                                                                  Проект  учителя

                                                                                                                  математики Михайловской ОШ

                                                                                                                   Пожванюк Н. Ф.

                                                   Симферополь     2014г            

        Формирование творческих способностей учащихся в процессе обучения математике путем организации иследовательской деятельности .

Один  из методов обучения математике в школе –частично – поисковый .Задача этого метода –развитие творческих способностей учащихся.Решение этой задачи влечет  проблемное обучение..Проблемное обучение совершается с помощью трех методов : метода прблемного изложения учебного материала ,частично-поискового(эвристического) метода.иследовательского метода . Общее у всех этих методов –обучение путем решения познавательных  проблем. А отличаются они-уровнем  самостоятельности поисковой деятельности учащихся .Наиболее эффективным в плане формирования и развития творчесаких способностей учащихся – исследовательский метод . Использовавние его в процессе обучения предучматривает организацию поисковой деятельности учеников ,напрвленной на решение новых для них познавательных проблем. При этом учащиеся используют такие универсальные учебные действия : наблюдение, анализ фактов ,выдвижение гипотезы и ее проверка. формулирование выводов.

    На примере нескольких задач,объединеных   общей идеей проилюстрируем , как можно организовать иследовательскую деятельность учеников в процессе изучения математики.

   Учитель строит на доске квадрат  АВСД . Через точку О.которая расположена внутри квадрата он проводитперпендикулярные прямые .которые пересекают стороны АВ,ВС, СД, АД  квадрата в точках L,K,M ,N.соответственно  . Учитель формулирует проблему : установить наибольшее количество соотношений между элементами квадрата,отрезками прямых MLKM. учащиеся включаются в работу,и первая гипотеза как правило : отрезки равны. Приведем одно из доказательств этой гипотезы. Которое учащиеся проводят самостоятельно ( иследовательский метод)  или при незначительных подсказках учителя ( частично- поисковый).рис 1 ,

    Рис 2 Проведем LL1 перпендикулярно AD , MM1 пеерпендикулярно AB. Тогда

LL1 =MM1. В четырехугольнике AKON два угла прямые (угол А = углу О =90 ).

Поэтому  угол АКО + угол АNО = 180 . Отсюда следует, угол АКО = 180- угол АNО=LNL1. Т. Е. у прямоугольных треугольников LL!N  MM1 K: LL1=MM1 и угол LNL1 =углу MKM1. Поэтому эти треугольники равны ( по катету и острому углу) . Из равенства треугольников следует NL=MK/

    Анализ рисунка дает возможность учащимся выдвинуть еще несколько гипотез:

 а)BK+MD=AN + LC ;

б) BL+ND = AK+MC

Приведем доказательство этих гипотез.

Т.К. АВСД-квадрат. то АВ=А,Д, тогда ВК+КМ1+М1А=АN+NL1+L1D.

Из равенства треугольников ММ1К  и LL1N следует,что КМ1=NL1/Учитывая, что равенство имеет вид : ВК+М1А=AN+L1D.

   Прямоугольники АМ1МД и LCDL1 ,т.к.М1А=МД и L1D=LD/ Используя это, равенство имеет вид ВК+ МД=АN+LCч.т.д.

   Равенство ВК+МД= AN+LCможно доказать используя векторный метод..Разместим квадрат АВСД в прямоугольной декартовой системе координат  так.чтобы его вершина А совпадала с началом координат, а стороны АД и АВ лежали на осях координат ( рис 3) Пусть АВ=а ,ВК=х,LC= уМД=z? AN=t/ Тогда       К( о;а-х), М(а;z)  N(t;о)L(а-у; а),КМ(а; z+x-a),NL(а-у-t;а). т.к. по условию задачи КМ перпендикулярно NL,то КМ * NL =0 , а (а-у-t)+ (z+х-а)а=0 или z+x= t+y  или МД+ ВК=AN+LC ,

 б) Из рапвенстваВК+МД=АN+LCимеем :

АВ-АК+СД-МС=АД-ND+BC-BL

Т.к.АВ+МС=АД+ ВС(3) равенство  имеет вид АК+МС=ND+BLч.т.д.

Для закрепления следует рассмотреть задачу с числовыми данными.

  Задача 1 .Через точкуО .которая расположена в середине квадрата АВСД проведено две взаимно перпендикулярные прямые.которые пер6есекают стороны квадрата в точкахт К, L , M , N/соответственно (рис 1) .Найдите :

а) длину отрезка ON,если ОК= 4 см. OL=5 см,ОМ=9 см .

б)длину отрезка АN, если ВК=3 см,LC= 6см, МД=8 см;

в)периметр DNOM,если периметры  четырехугольников АКON,BLOR ,CLOM соответственно равны 9см , 5 см, 8 см.

Решение.  а) т.к. МL=KM   , то  ON+ OL=OK+OM, откуда

ON= OK+CM-OL=4+9-5=8см

б) Т.К. BK+MD=AN+LC, тоAN=BK+MD-LC=3+8-6=5 см;

Ответ а) 8 см ; 5 см.

Некоторые соотношения между элементами квадрата АВСД и отрезками прямых

NLи КМ  полезно предложить доказать учащимся самостоятельно.

Задача2.  Через точку О , которая  расположена в середине квадрата АВСД , проведено две взаимно перпендикулярные прямые , которые пересекают стороны квадрата в точкахK,LM,N соответственно(рис1). Доказать ,чтоа) квадрат ОК+ квадрат OL + квадрат ОМ +квадрат ОN+AK*KB+BL*LC+CM*MD+AN*ND=2а ,где а –длина стороны квадрата АВСД;

б) АК*МС-ВК*МД=ND*BL-AN*LC,

Решение.а) квадрат а –квадрат АВ=квадрат (АК+КВ)=квадрат АК+2ААК*КВ+квадрат КВ.Аналогично квадрат ВС .квадрат СД. Квадрат АД.

Сложив левые и правые части всех четырех равенств и учитывая рис 4.Разделив левую и правую часть на2 получим ч.т.д.

б) пусть а-длина стороны квадрата АВСД  ВК=х LC=y,AN=t,MD=z/Тогда АК=а-х

,ВL=a-y ,MC=a-z ,ND=a-t( рис5) Т.К.АВ*СД=АД*ВС ,то (х+(а-х)* (z+(a-z))=

(t+(a-t)*(y+(a-y)) т.е.xz+x(a-z)+z(a-x)+(a-x)*(a-z)=ty+ -yt(a-e)+e(a-t)+(a-t)*(a-y) ,т.е

xz+ax-xz+az-zx+(a-x)*(a-z)=ty+at-ty+ay-yt+(a-t)(a-y)т.е.a(x+z)-zx+ (a-x)*(a-z)=a(t+y)-yt+(a-t)*(a-y)/.т.к.x+z=t+y ,то (a-x)*(a-z) -zx=(a-t)*(a-y)-yt илиАК*МС-ВК*МД=ND*BL-AN*LC ч.т.д.

Далее можно поставить перед учащимися такую проблему: установить  соотношение между элементами  квадрата АВСД ,если одна из перпендикулярных прямых не пересекает сторону квадрата . а пересекает ее продолжение, или обе прямые пересекают продолжение  сторон квадрата

Для закрепления  полезно  рассмотреть задачу с числовыми данными.

Для домашней работы можно предложить такие задачи :

1. Через точку О ,которая расположена вне квадракта АВСД проведены две взаимно перпендикулярные прямые  которые пересекают стороны ВС и АД в точках  К и М . а продолжения сторон АВ и СД в точках L и N/соответственно ( рис 13). Доказать .что ДМ-ВК= АN+LC/

2/Через точку О,которая расположена вне квадратаАВСД ,проведено две взаимно   перпендикулярные прямые,которые пересекают продолжения сторон АВ,ВС,СД,АД квадрата в точках  K,L,M,N/(рис 14)Доказать, что ВК-СМ=AN-BL

  3.Через точку О, которая принадлежит стороне ВС квадрата АВСД проведено две взаимно перпендикулярные прямые, которые пересекают стороны СД и АД квадрата в точках M,N,а продолжение стороны АВ –в точке К(рис 15).

Доказать,что AN+BK+JC+CM