Лекция  по теме "Линейная функция".

Алгебра, 7 класс

1. Рассмотрим примеры задач с применением известных формул:

S = v·t (формула пути),                      (1)

С = ц·к (формула стоимости).             (2)

Задача 1. Автомобиль отъехав от пункта А на расстояние  20км  продолжил свой путь со скоростью 62 км/ч. На каком расстояние от пункта А будет находиться автомобиль через  t часов? Составьте выражение к задаче, обозначив расстояние S, найдите его при t = 1ч, 2,5 ч, 4ч.

Решение.

1) Используя формулу (1) найдём путь, пройденный автомобилем со скоростью 62 км/ч за время t, S1 = 62t;
2) Тогда  от пункта А через t часов автомобиль будет находиться на расстояние  S = S1 + 20   или  S = 62t + 20, найдём значение S:

при t = 1,   S = 62*1 + 20,        S = 82;
при t = 2,5, S = 62*2,5 + 20,    S = 175;
при t = 4,    S = 62*4+ 20,        S = 268.

Замечаем, что при нахождении S меняется только значение t и S, т.е. t и S  – переменные, причём   S зависит от t, каждому значению t соответствует единственное значение S. Обозначив, переменную S за Y, а t за x, получим формулу для решения данной задачи:

Y= 62х + 20.             (3)

Задача 2. В  магаине купили учебник за 150 рублей и  15 тетрадей по n  рублей. Сколько денег уплатили за покупку? Составьте выражение к задаче, обозначив  стоимость С, найдите его при n = 5,8,16.

Решение.

1) Используя формулу (2) найдём стоимость тетрадей С1 = 15n;
2) Тогда стоимость всей покупки С= С1+150 или С= 15n+150, найдём  значение  C:

при n = 5, С = 15•5 + 150,           С= 225;
при n = 8,   С = 15•8 + 150,           С= 270;
при n = 16,  С = 15•16+ 150,         С= 390.

Аналогично, замечаем, что С и n   переменные, для каждого значения n соответствует единственное значение  С. Обозначив, переменную С за Y, а n за x, получим формулу для решения задачи 2:

Y= 15х + 150.        (4)

Сравнивая формулы (3) и (4) убеждаемся, что переменная Y находится через переменную х по одному алгоритму. Мы рассмотрели лишь две разные задачи, описывающие окружающие нас явления каждый день. На самом деле процессов, изменяющих по полученным законам  – множество, поэтому такая зависимость между переменными заслуживает изучение.

Решения  задач показывают, что значения переменной  х  выбраны произвольно, удовлетворяющие условиям задач (положительные в задаче 1  и натуральные в задаче 2), т. е.  х  – независимая переменная (её называют аргументом), а  Y – зависимая переменная и между ними  однозначное соответствие, а по определению такая зависимость является функцией. Следовательно, обозначив коэффициент при  х буквой  k, а свободный член буквой  b, получим формулу

Y= kx + b.

Определение. Функция вида y= kx + b, где k, b – некоторые числа,   х  - аргумент, y– значение функции, называется линейной функцией.

Для изучения свойств линейной функции введём определения.