Традиционный путь построения геометрии, идущий от Евклида и закрепленный Д.Гильбертом в его аксиоматики геометрии (1899 год), заключается в следующем. Основными неопределяемыми понятиями геометрии служат понятия точки, прямой, плоскости. Основными неопределяемыми отношениями между ними являются: отношения принадлежности (например, точка лежит на прямой, плоскость проходит через прямую и т.д.); понятие «между», являющееся отношением трёх точек одной прямой и позволяющее определить отрезок, луч , угол и т.д; отношение равенства ( конгруэнтности), связывающее два отрезка или два угла. Формулируются два десятка аксиом, связывающих между собой основные понятия и отношения (и, по существу, дающих косвенное определение этих основных понятий и отношений). Среди этих аксиом имеются такие хорошо известные, как «Через две различные точки проходит единственная прямая», «Из трёх точек одной прямой лишь одна лежит между двумя другими», а также аксиома параллельности и некоторые другие. Все остальные понятия геометрии уже точно определяются, предложения геометрии ( отличные от аксиом) строго доказываются ( то есть выводятся из аксиом в соответствии с правилами логики.
Этот путь построения евклидовой геометрии является самым известным, но отнюдь не единственно возможным.
В основе всех современных теорий евклидова пространства лежит понятие числа. В этом состоит коренное отличие современных теорий от классической теории Евклида-Гильберта, в которой число рождается в рамках самой теории как отношение отрезков или мера длины.