Объяснение нового материала

Переходим к новой теме.

В алгебре логики имеется ряд законов,  позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А = .

 Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

A V B = B V A

— для логического умножения:

A&B = B&A.

 Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

 В обычной алгебре   2 + 3 = 3 + 2, 2 ´ 3 = 3 ´ 2.

3. Сочетательный (ассоциативный)  закон:

— для логического сложения:

(A Ú B) Ú C = A Ú (BÚ C);

— для логического умножения:

(A&B)&C = A&(B&C).

 При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

 В обычной алгебре:   (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4, 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ 6 ´ 7.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B)&C  = (A&C) Ú (B&C);

— для логического умножения:

(A&B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C).

 Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

 В обычной алгебре:   (2 + 3) ´ 4 = 2 ´ 4 + 3 ´4.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

  =  &  ;

— для логического умножения:

  =   Ú 

6. Закон идемпотентности

— для логического сложения:

A Ú A = A;

— для логического умножения:

A&A = A.

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения:

A Ú 1 = 1,      A Ú 0 = A;

— для логического умножения:

A&1 = A,     A&0 = 0.

8. Закон противоречия:

A&  = 0.

 Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

 9. Закон исключения третьего:

A Ú  = 1.

10. Закон поглощения:

— для логического сложения:

A Ú (A&B) = A;

— для логического умножения:

A&(A Ú B) = A.

11. Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

(A&B) Ú (  &B) = B;

— для логического умножения:

(A Ú B)&(  Ú B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A Û  B) = (BÛ A).
┐(А→В) = А&┐В
┐А&(АÚВ)= ┐А&В
АÚ┐А&В=АÚВ

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсут­ствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного от­рицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.