Геометрическая и арифметическая прогрессии.

Актуальность:

В этом году мы прошли такие темы как арифметическая и геометрическая прогрессии. Моих учеников Карину и Мишу заинтересовала эта тема, так как изучаем мы эту область математики только в 9 классе, несмотря на то, что затрагивают прогрессии почти все аспекты жизни.

Цели:

1. Найти связь прогрессии с жизнью.
2. Научиться применять прогрессию в повседневной жизни.
3. Преодоление в сознании  неизбежно возникшего преставления о «сухости» предмета, формальном характере оторванности от жизни и практики.

Содержание:

1. Ознакомление с историей развития прогрессии.

2.     Прогрессия и её применение в таких жизненных сферах как биология, медицина, физика, литература, химия, связь, экономика, музыка и др.

Из истории прогрессии.

Доказательством того, что прогрессия начала своё существование в древности, являются найденные древнеегипетские папирусные и клинописные таблички вавилонян. Также почти всем известны интересные задачи, дошедшие до нас с древних времён. Они были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства, строительство, размежевание земельных наделов.  Причём, те, кто мог и умел применять арифметическую и геометрическую прогрессии, имел материальную выгоду.  С тех времён почти ничего не изменилось. Люди используют её сейчас, не ограничиваясь исключительным применением в экономике. Она обхватили все сферы нашей с вами повседневной жизни: медицину, биологию, физику, химию, литературу, связь, экономику, музыку и т.д.

Сегодня мы продемонстрируем это на жизненных примерах, разберем каждую из этих сфер и покажем применения прогрессии в этих деятельностях.

Начнем нашу презентацию с рассказа о роли прогрессии в биологии.  Каждый год, месяц, день, минуту бактерии, вирусы и микроорганизмы  на нашей планете размножаются с невероятной скоростью. Так в благоприятных условиях одна бактерия способна разделиться на две части всего за одну минуту. Укажем количество рожденных бактерий за семь минут. (задача…….)

Так же с довольно большой скоростью такие организмы как одуванчики и воробьи способны к быстрому увеличению численности своей популяции. Воробьи без препятствий к размножению заполнили бы всю планету за 35 лет, что уж говорить об одуванчиках, которым достаточно лишь распространить свои зонтики при  помощи первого попутного ветра.

Перейдем к другим сферам. Медицина.

В 1969 . Л. Фулдс на основании данных экспериментальной онкологии создал теорию прогрессии опухолей. Согласно этой теории, опухоль рассматривается как образование, непрерывно прогрессирующее, под которыми подразумеваются наследуемые изменения необратимого характера одного или нескольких признаков.

Приобретение опухолевых свойств происходит по стадиям, в результате смены одной популяции клеток другой, путем отбора клеточных клонов или мутации опухолевых клеток. Так создаётся основа для всё большей автономности клеток и максимальной приспособленности их к среде.

По теории прогрессии опухолей сроки прохождения стадий, отдельные свойства, характеризующие злокачественную опухоль, могут значительно варьироваться, появляться независимо друг от друга и создавать различные комбинации признаков. Опухоли одного и того же типа не достигают конечного результата одним и тем же путем: одни опухоли приобретают свои окончательные свойства сразу, другие - пройдя ряд промежуточных стадий .

Физика.

И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,  раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

Литература.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из "Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры:

Ямб. 

Я помню чудное мгновенье...

Унылая пора, очей очарованье...

Прогрессия: 2; 4; 6; 8….

Хорей.

Прогрессия: 1; 3;5; 7...

Химия.

При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

Связь.

До сих пор происходил и продолжается ныне процесс разделения  социальных коммуникаций, состоящий в непрерывном росте числа коммуникационных каналов. Если принять за точку отсчета два канала, получается прогрессия роста: 2,4,6,8,10,которая представляет собой классическую арифметическую прогрессию. Напрашивается закон роста коммуникационных каналов: по ходу цивилизованного процесса социально-коммуникационные каналы увеличиваются в арифметической прогрессии. При этом затраты общества на обеспечение коммуникации растут не в арифметической,а в геометрической прогрессии,поглощая в информационном обществе значительную часть национального бюджета.

Экономика.

Вычисление на основе сложного процента означает, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Процесс роста капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм роста первоначальной суммы по сложным процентам называю «капитализацией Стоимость денег во времени».

Мы провели исследовательскую работу. Посетили Некоммерческую Кредитную Организацию  «Срочно деньги». Консультант ознакомил нас со всеми условиями и пояснил нюансы. Попробуем разобраться в том, стоит ли пользоваться услугами таких учреждений.  И так, мы, предположим решили взять 10000 рублей на срок 16 дней. Посмотрим на слайд – процентная ставка составляет 2 % в день, то есть сумма растёт в арифметической прогрессии. Но, допустим, по истечению 16 дней у нас не оказалось суммы, которую надо вернуть. В этом случае мы оказываемся в довольно неприятной ситуации, так как будут начисляться всё те же 2%,  которые будут прибавляться к каждой предыдущей получившейся сумме, образуя геометрическую прогрессия. Таким образом  годовой процент составит 732 %. Подсчитаем сколько нам придётся вернуть денег. (задача) Мораль  такова: берёшь – отдавай во время, или не бери вовсе.

Финансовая пирамида.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

Прогрессия в музыке

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия в музыке бывает точная или неточная. В точной мотив повторяется на другой ступени буквально. В неточной прогрессии  допускаются отступления от точной величины интервалов мотива и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессией  называется также секвенцией ( - приём, который сводится к последовательному повторению данной мелодической фразы или гармонического оборота на другой высоте.)

Вывод.

И напоследок  мы хотели бы подчеркнуть, что прогрессия встречается почти везде.  Мы сами многое узнали о ней при подготовке этого рассказа. Лично я, когда учился в музыкальной школе на протяжении 7 лет,  даже  не догадывался о том, что геометрическая и арифметическая прогрессии могут применяться в музыке. А я сделала для себя большое открытие, узнав о применении прогрессии в литературе.

Сегодня мы наглядно показали только часть всего того, что затрагивает прогрессия. Это в очередной раз доказывает, что с такой наукой как математика люди сталкиваются каждый день. Надеемся, нам удалось заинтересовать вас  и открыть новые грани математики.  Спасибо за внимание.

(Геометрическая и арифметическая прогрессии сопровождают человека с древних времен вплоть до нашего века.  Она встречается в самых различных сферах жизни: таких как музыка, биология, химия, экономика, литература и т.д.)