Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.

 

Существует  несколько  способов  решения  иррациональных уравнений  с  параметрами.

 

Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.

 

Способ 1.

    Решить  уравнение 

 

  х -   = 1         (1)

 

    Решение:

    Возведем  в  квадрат  обе  части  иррационального  уравнения  с  последующей проверкой  полученных  решений.

Перепишем  исходное  уравнение  в  виде:

 

 = х – 1            (2)

 

При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного  уравнения  и  проведения  тождественных  преобразований  получим: 

 

2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

 

Особое  значение: а = 0,5.

Отсюда:

1.            при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 (1 ± );

2.            при  а = 0,5  х = 0,5;

3.            при  а <0,5  уравнение  не  имеет  решений.

 

Проверка:

1.      при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение  (2), равносильное  исходному, получим  неверное  равенство. Значит,  х=0,5  не  является  решением (2)  и  уравнения  (1).

2.      при   подстановке  х1 = 0,5 ( 1 ±  )  в  (2)  получим:

-0,5 (1 + ) =   – ( 0,5 ( 1 -  ))2

      Так  как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не  удовлетворяет  исходному  уравнению.

3.      Подставим  х2  в  уравнение (2):

 

                                             = 

 

Проведя  равносильные  преобразования, получим:

 

Если    , то  можно  возвести  полученное  равенство  в  квадрат:

 

                                 

 

Имеем  истинное  равенство  при  условии, что 

Это  условие  выполняется, если а ≥1. Так  как  равенство  истинно  при а ≥1, а  х2  может  быть  корнем  уравнения  (1)  при  а > 0,5, следовательно, х2 – корень  уравнения  при а ≥1.  

 

 

Способ 2.

 

;

 

;

 

;

 

;

 

;

 

Изобразим график:

 

;    

 

Ответ:

·         Если , то нет  решений;

·         Если , то

·         Если ,  то     ;

·         Если , то 1 – решение.

 

 

Способ 3.

 

 = 2x - 1

 

 

 

x₁ =

 

x₂ =

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a

Xв=1

 

 

1.    

          уравнение имеет 2корня.

 

 

 

2.    

 

  уравнение имеет 1 корень.

 

 

 

3.      D<0   уравнение не имеет корней.

 

Ответ:

·         Если a<-3 уравнение не имеет корней;

·         Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;

·         Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:

                X1=;

                X2=.

 

Способ 4.

 

   

 

                     =   2x – 1

                      

                4х+а = (2х-1)2

                 Х ≥ ½

                              

                 4х²-8х+(1-а) = 0

                Х ≥ ½

 

 

D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а

 

D/4 =4(3 + а)

 

•         Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.

•         Если а = -3, то D = 0.

                       х1 = х2 = 4/4 = 1

•         Если а > -3, то D >0.

                       х1 = ½( 2 -          );  

 

   

 

                    х2 = ½( 2 +          ).

 

 

·         Система имеет два решения:

  ½( 2 +          ) ≥ ½

  а > -3

 

  а > -3

            ≤ 1

 

  2 ≤ а <3

 

·         Единственное решение, если

х1 < ½ и х2 ≥ ½  

 

½( 2 -          ) <½

½( 2 +          ) ≥ ½

 

           > 1

          ≥ -1

 

 

а > -2

а ≥ -3

 

а > -2

 

Ответ:

·         Если a<-3 уравнение не имеет корней;

·         Если a=3 или a-2 уравнение имеет 1 корень x= 1 или x= ;

·         Если -3 < a< -2 уравнение имеет 2 корня:

                X1=;

                X2=.