Закономерности  окружающего  мира – 7 класс

Тема  8.  Алгебра  событий

Задачи  темы:  а)  познакомить  учащихся  с  алгеброй  событий,  вспомнить,  что  математические  действия  выполняются  над  буквами,  если  буквами  обозначены  числа;

б)  ответить  на  вопрос:  разве  можно  выполнять  алгебраические  действия над  буквами-событиями?

в)  в  ходе  беседы  с  семиклассниками  использовать  такие  понятия,  как  «сумма  событий»  и  «произведение  событий»;  знать,  что  в  алгебре  событий  существуют  переместительные,  сочетательные,  распределительные  и  другие  законы;

г)  разъяснить  учащимся,  что  пользуясь  алгеброй  событий  можно вычислить  вероятность  события,  представляя  его  как  сумму  или  поизведение  других  событий,  вероятность  которых  известна  или  может  быть  надежно  измерена.

урок  01(01).     Событие  как  множество,  элементы  которого – элементарные  исходы.

Задачи  урока:      а)  в ходе беседы  с  учащимися  дать  понятие  о  событии  как  множестве,  элементами  которого  являются  элементарные  исходы;  б)  познакомить  семиклассников  с  новыми  понятиями:  «универсальное  множество»,  «множество»,  «элементы  множества»,  «бесконечные  множества»,  «математическая  логика»;   в)  развивать  логику  математического  мышления.

Оборудование  урока:   таблицы,  картины,  иллюстрирующие  событие  как  множество

 Эпиграф:  Пользуясь  алгеброй  событий,  можно  вычислять  вероятность  события, представляя  ее  как  сумму  или  произведение  других  событий, вероятность  которых  известна  или  может  быть  надежно  измерена. (Вопросы  и  ответы)

Математическая  логика  есть  по  предмету,  математика  по  методу.

(П. Порецкий,  российский  математик)

Содержание  урока:

1.       Организация  школьников  на  урок.

2.       Изучение  нового  материала.

·         Тезисы  урока:

·           Вступительное  слово  учителя.  Мы  продолжаем,  ребята, знакомиться  с  закономерностями  окружающего  нас  мира. В  предстоящем  учебном  году  вместе  повторим,  что  знаем  и  продолжим  получать  знания  по  предмету.  Мы помним  основные  понятия:

-  случайное   событие;

-  левое  и правое;

-  симметрия  и  ассиметрия;

-  геометрическая  симметрия;

-  перестановки,  сочетания, шансы;

-  вероятность;

-  частота.

В  этом  учебном  году  познакомимся  со следующими  понятиями;

 – алгебра   событий  и  основные правила  вычисления  вероятностей;

 – полная  вероятность ;

–  вероятности  гипотез;

 – математическая схема  Бернулли;

 – случайные  величины.

·           Сегодня  мы  с  вами  поговорим  о  событии  как  множестве. Будем  рассматривать  события,  которые  происходят  при  двукратном  бросании  игрального  кубика.  Об  этой  ситуации  мы  говорили  достаточно  подробно,  где  объясняли,  что  представляет  собой  пространство  элементарных  исходов. Называют  его  универсальным  множеством.  В  данном  рассматриваемом  случае  универсальное  множество  состоит  из  36  элементарных  исходов.  Понятно,  что  вероятность  каждого  исхода  равна 1/36.   Графически  эти  исходы  будут  использоваться  нами  и  в  данной  теме.  Напомню,  что  например,  35 – это  не  тридцать  пять,  а  три-пять  (это  элементарный  исход  с  выпадением  грани 3 в первом  бросании кубика  и грани 5  во  втором  бросании).  Прошу  вас  обратить  внимание  на  то,  что  в  дальнейшем  будем  разделять  дефисом  очки  выпавших  пар  граней:  1 – 1, 1 – 2 , ...  (чтобы  избежать  путаницы).

·           А  сейчас  работаем  с  рисунками  учебника.  На  рис. 1 в таблице 32  вы  видете  в  виде  маленьких  эллипсов  36  элементарных  исходов  испытаний  с  двукратным  бросанием  кубика  (рассмотрите  и  найдите  их  в  таблице).  Обрати   внимание,  что  там  же  выделены  области  ,  соответствующие  шести  выбранным  в  качестве  примера  событиям:  A,  B, C, D, E, F.  Каждая  из  этих  областей  (каждое  из  шести  событий)  состоит  из  определенного  набора  элементарных  исходов.  Сделаем  вывод:  каждое  событие  есть  множество,  элементами  которого  являются  соответствующие  элементарные  исходы. 

·           Понятие  множества  широко  используется  в  математике.  Множеством  называют  любой  набор  предметов,  объектов,  фигур,  свойств,  а  также  событий,  собранных  по  какому-либо  признаку  (или  признакам).  Все  эти  предметы,  объекты,  фигуры,  свойства  события  называются  элементами  множества.

·           Множества  с  конечным  числом  элементов  называют  конечными  множествами.  Существуют  также  бесконечные  множества  (например,  множество  всех  натуральных  чисел).  Запомните,  рассматривая  алгебру  событий,  мы  с  вами  фактически  рассматриваем  алгебру  множеств  или  множеств  событий.

·           Обратимся  к  истории  появления  алгебры  событий.  Замечу,  что  алгебра  событий  существенно  отличается  от  алгебры  чисел.  Но  и  во  многом  можно  найти  между  ними  аналогии.  Последнее  неудивительно,  поскольку  алгебра  чисел  и  алгебра  множеств  (событий)  имеют  общие  корни  в  математической  логике.  Рождение  математической  логики  во  многом  связано  с  идеями  знаменитого  немецкого  ученого  Готфрида  Вильгельма  Лейбница  (1646 – 1716),  считавшего  что  различные  рассуждения  могут  быть  в  каком-то  смысле  сведены  к  механическому  выполнению  определенных  действий  по  некоторым  правилам.  Как  самостоятельный  раздел  математики  математическая  логика  начала  формироваться  с  середины XIX  века  благодаря  работам  ирландского  математика  и  логика  Джорджа  Буля  (1815 – 1864).

Буль  применил  алгебраические  методы  для  решения  логических  задач  и  сформулировал  на  языке  алгебры  некоторые  фундаментальные  законы  мышления.  Они  фактически  моделируют  алгебру  Буля.

·                    Но  вернемся  к  рисунку  учебника  и  рассмотрим  шесть  событий – множеств.

Событие А   – выпала  пара  одинаковых  граней.  Оно  представлено  множеств,  элементами  которого  являются  шесть  элементарных  исходов:  1 – 1, 2 – 2, 3 – 3, 4 – 4, 5 – 5, 6 – 6.  Вероятность  этого  события  P(A) = 6 / 36. 

Событие  C – выпала    пара  граней  с  суммой  очков  меньше 8;  множество  с остоит  из  21  элемента.  Вероятность  события  P(C) = 21 / 36.

Событие B – выпала  пара  граней,  среди  которых  есть  хотя бы  одна  единица.  В  этом  множестве  11  элементов (6 – 1, 5 – 1,  4 – 1, 3 – 1, 2 – 1,  1 – 1, 1 – 2, 1 – 3, 1 – 4, 1 – 5, 1 – 6).  Вероятность  события P(B) = 11 / 36.

Событие D – выпала  пара  граней  с  суммой  очков  больше  7;  множество  состоит  из  15  элементов. Вероятность  события  P(D)  =  15 / 36.

Событие E – выпала   пара  граней  с  суммой  очков  10;  множество  состоит  из  трех  элементов.  Вероятность  события  P(E)  =  3 / 36.

Событие F – выпала  пара  граней  с  очками  5  и  5;  множество  состоит  из  одного  элемента  (элементарного  исхода  5 – 5).  Вероятность  события  P(F)  =  1 / 36.

·         Работа  с  текстом  учебника  на  с.205:  понятие  «противоположное (дополнительное) событие».  Разбираются  примеры  таких  событий.

·         В  теории  множеств  используется  понятие  подмножества  (части  множества).  Множество  К   называют  подмножеством  множества  L,  если каждый элемент  множества  К  является  одновременно  элементом  множества  L.  Записывают  это  так:  K c  L.  Или  L c  К.Однако  заметим,  что  если  бы  при  этом  каждый  элемент  множестваL  являлся  одновременно  элементом  множества К,  то  оба  множества  считались  бы  равными: К = L.  Делаем  вывод:  если Кc L  и