Тема урока «Деление многочленов»

«Люди, незнакомые с алгеброй,

 не могут представить себе

 тех удивительных вещей,

 которых можно достигнуть

 при помощи названной науки»

 Г. Лейбниц

Цели урока:

 1.Обучающая – показать использование теории многочленов в решении алгебраических задач;

2.Развивающая – развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием многочленов;

3.Воспитывающая – воспитывать чувство ответственности, желание расширить и углубить знания, полученные на уроке.

 

 

План урока:

 

1) Организационный момент

2) Устная работа

3) Решение типовых задач

4) Задача с параметрами

5) Задача из ЕГЭ

6) Уравнение

7) Домашнее задание

8) Итог урока

 

1. Организационный момент(постановка темы, цели урока)

Задачи, в которых встречается деление многочленов, играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач весьма полезно еще и потому, что они раньше встречались на вступительных экзаменах во многих престижных вузах, а сейчас это – задания из части С ЕГЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Устная работа

Найдите ошибку!

 

 Совет учиться на ошибках другого бесполезен,

научиться чему-либо можно только на собственных ошибках.

Бернард Шоу

 

 1.Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.

 

2.Коэффициент при старшем члене многочлена называют степенью многочлена.

 

3.Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.

 

4.Многочлен f(х) делится на многочлен s(х) не являющийся нулевым многочленом, если:

              a) f(х) = s(х)•q(х) + r(х);

              б) deg s(х) < deg r(х) или r(х)=0

 

5.Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х + α) равен Р(α),  т.е. значению Р(х) при х = α.

 

6.Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на двучлен s(х) = х + α.

 

7.Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.

 

8. Многочлены называются тождественно равными, если равны соответствующие показатели степеней одночленов.

 

 

 

 

Устная работа

1. Найдите степень суммы многочленов: х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.

2. Найдите степень произведения многочленов: (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2

3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х - 1 на (х – 1)

4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?

5. Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?

  6. Найдите свободный член многочлена (х2 - х + 1)2012 + (х2 - х + 1)2012

 

  7. Найдите сумму коэффициентов многочлена (х - 1)2012 + (х + 1)2012.

3. Решение типовых задач

 

Какие вы знаете приемы деления многочленов?

ü  деление углом

ü   метод неопределенных коэффициентов

ü  Схема Горнера

 

1)     Разделите «уголком»  многочлен     4х4-2х3-16х2+5х+9  на многочлен                 х2-2х-1                                                                  

       Ответ ;    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Применяя схему Горнера,  найти частное и остаток от деления многочлена

  6х4-5х3-53х2+45х-9 на многочлен  х-2

          

                Ответ:  Q = ,            R = - 75;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Методом неопределенных коэффициентов найти частное и остаток от деления P(x) на Q(x).

                                                P(x) = 5х4-х3-х-4

                                       Q(x) = х2-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача с параметрами

Найти все значения параметров  а и b, при которых многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Q(х):

 Р(х)=6х4-х3+ах2+bх+4,          Q(х)=х2-4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Задача из ЕГЭ

 

Лысенко . Подготовка к ЕГЭ 2011. Вариант 14.(стр. 109)

        Найдите все целые значения m, при которых число    является целым.

Ответ :-8, -4, -2, 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнить самостоятельно

   При каких натуральных значениях выражение является целым числом?

    РЕШЕНИЕ. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

    Таким образом, исходное выражение равно , что является целым числом тогда и только тогда, когда нацело делится на . Поскольку целыми делителями числа являются числа и только они, получаем
    ОТВЕТ: .

 

 

6.  Решить уравнение:  

 

 

Р е ш е н и е .                   x3– 3x2– 13x + 15 = 0 .

 

 Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3

                         и подстановкой в уравнение. В результате находим,

                         что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого

                         уравнения на двучлен  x – 1,  и получаем:

 

                       

                        

                         Теперь, решая квадратное уравнение: x2– 2x – 15 = 0, 

                         находим оставшиеся два корня:  x1 = – 3  и  x2 = 5 .

Ответ: -3; 1; 5.

 

 

7. Домашнее задание:

 

8. Итоги урока