Учитель математики Серебрякова И.Д.

Площадь многоугольников

8 класс

Цели:

ввести свойства площадей, доказать формулы вычисления площадей для треугольника, прямоугольника, параллелограмма;

ввести и доказать теорему об отношении площадей у треугольников, имеющих равные углы.

Тип урока:

изучение нового материала.

I.                    Организационный момент.

Учитель сообщает о теме урока. Сообщает, что математическое определение площади будет изучено позже, но уже сейчас, основываясь на интуитивном понимании площади, можно ответить на некоторые простые вопросы и использовать понятие площади для решения задач. Также сообщает, что презентация урока будет разослана на электронные почтовые ящики всем ученикам, поэтому записи сегодня вести необязательно. Однако некоторые вычисления всё-таки необходимо будет выполнить в тетрадях.

II.                  Объяснение нового материала.

(Слайд 1)

Учитель предлагает ученикам самим интуитивно сформулировать свойства площадей. Если ученики затрудняются сформулировать свойства, можно использовать вопросы:

1)      Какие площади будут иметь равные треугольники, а прямоугольники, а  вообще равные фигуры?

2)      Что если фигура состоит из нескольких фигур?

3)      Какова площадь квадрата?

По мере того как ученики правильно формулируют свойства площадей, на экране появляются соответствующие формулировки и рисунки.

(Слайд 2)

Учитель спрашивает:  если мы узнали площадь квадрата, то можем ли мы узнать площадь других фигур? Получив утвердительный ответ, просит ребят подумать площадь какой фигуры (помимо квадрата) они уже могут находить. Когда ученики догадываются, что они уже знают, как находить площадь прямоугольника и говорят, что его площадь равна произведению смежных сторон. Учитель предлагает ученикам объяснить – почему так?  После того как ученики обнаружили затруднение в этом, учитель говорит, что в математике все истинные утверждения, кроме аксиом возможно доказать. И предлагает доказать это утверждение. По мере того, как сообщается тот или иной узел доказательства на экране появляется соответствующая краткая запись, и дополняется рисунок.

1)      Достроим до квадрата, при этом обозначим площадь прямоугольника через S

2)      – 4) Вместе с учениками учитель выясняет  чему равна площадь получившихся фигур, опираясь на свойства площадей (в случае необходимости с помощью гиперссылки переходит на Слайд 1)

5)      На основе формул сокращенного умножения, после того, как ученики обнаружили, что они разными способами нашли одну и ту же площадь, учитель просит одного из учеников упростить полученное равенство. Упрощая ученики делают вывод об истинности формулы.

(Слайд 3)

Учитель сообщает о том, что на самом деле с помощью очевидных свойств площадей, которые рассмотрели в начале урока, возможно найти формулы площадей и других известных фигур. Например – параллелограмма.  Учитель озвучивает эту формулу (на экране в это время появляется чертёж и формулировка) и предлагает ученикам догадаться, какую фигуру надо использовать, чтобы доказать формулу. Ученики понимают, что надо использовать прямоугольник, но так как прямоугольника на чертеже нет, то необходимо достроить чертёж, так чтобы он получился.

1)      Достраивается высота СК (обводятся контуры прямоугольника)

2)       Двумя разными способами (аналогично соображениям, используемым при доказательстве формулы площади прямоугольника) находится площадь четырехугольника ABCK

3)      Ученики доказывают равенство треугольников ABHи DCK(используя признаки равенства прямоугольных треугольников) и выводят формулу для нахождения площади прямоугольника BHKC

4)      Поняв, что по площади прямоугольник и параллелограмм равны, ученики делают вывод об истинности теоремы.

(Слайд 4)

      Учитель спрашивает у учеников, какую фигуру, кроме уже разобранных они проходили, про какую фигуру они больше всего пока знают. Ученики отвечают – треугольник. Учитель говорит, что было бы ошибкой (а может даже преступлением) не найти чему равна площадь треугольника. Сообщает ученикам о формуле для вычисления площади треугольник (после этого на экране появляется формулировка теоремы и рисунок к ней).

1)      Учитель предлагает ученикам догадаться какую фигуру они будут использовать для доказательства теоремы. Ученики догадываются, что параллелограмм и догадываются, что надо фигуру до параллелограмма достроить. После того, как на экране появляется параллелограмм, появляются буквы Sи S1 , символизирующие площади треугольников ABCи DBC

2)      Учитель предлагает рассмотреть эти треугольники. Ученики догадываются, что треугольники равны по трём сторонам (используя свойства параллелограмма) и, что по свойствам площадей – если фигуры равны то и их площади равны – площади данных треугольников должны быть равны

3)      Но так как площадь параллелограмма по предыдущей теореме ученики уже знают, то они убеждаются в истинности теоремы.

(Слайд 5)

      Учитель предлагает немного отдохнуть от серьёзных теорем и подумать над некоторыми свойствами, вытекающими из этих теорем. То есть подумать о применении этих теорем. Начинает с того, что спрашивает, чему будет равна площадь прямоугольного треугольника (как частный случай формулы площади треугольников вообще). В это время на экране появляется прямоугольный треугольник с обозначением сторон. Ученики догадываются, что площадь можно выразить через катеты, после этого появляется формулировка соответствующего следствия. 

      Далее появляются два треугольник, у которых одна из высот равна. Учитель предлагает сравнить площади этих треугольники, в частности как будут они относится друг к другу. Для этого предлагает ученикам по формулам сообщить чему будут равны площади и разделить полученные выражения. После того, как ученики отдельно выполнят эти указания в тетрадях и сделают вывод, появляется формулировка следствия.

(Слайд 6)

      Учитель предлагает продолжить находить формулы для  площадей фигур. И предлагает ученикам вспомнить, известную фигуру для, которой формулы ещё нет. Ученики находят, что это трапеция. После этого на экране появляется изображение трапеции и формулировка теоремы.

1)      Учитель предлагает ученикам догадаться, какую фигуру будут они использовать для подтверждения истинности теоремы. И после нескольких неудачных попыток, предлагает обратить внимание, на проведённую уже диагональ ВС. После чего ученики догадываются, что они будут использовать треугольники.

2)      Ученики самостоятельно догадываются, что, так как трапеция состоит из двух треугольников, то её площадь будет равна сумме этих треугольников. После чего появляется соответствующий узел доказательства. Далее ученики находят по формуле площади треугольников площадь этих треугольников.

3)      Учитель предлагается самостоятельно в тетради упростить, получившееся выражение для площади трапеции. После того, как ученики это сделают на экране появляются соответствующие вычисления.

(Слайд 7-8)

      Учитель сообщает, что данные теоремы о площадях фигур являются крайне важными. В том числе потому, что с помощью них в дальнейшем мы будем исследовать новый тип отношения, отношение – подобия, в частности подобия треугольников. Для исследования этого типа отношения принципиальной является следующая теорема о отношении площадей треугольников, имеющих равные углы. Учитель формулирует эту теорему, показывая рисунки и «дано», убеждается в том, что ученики понимают смысл теоремы, используя Слайд 7.  

После чего, используя Слайд 8, доказывает теорему следующим образом:

1)      Предлагает наложить два треугольника, представленных на Слайде 7 друг на друга таким образом, чтобы равные углы совместились (после чего показывается, соответствующая иллюстрация)

2)      Затем используя второе свойство площади треугольников, о отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты, предлагает ученикам найти такие треугольники и составить соответствующие соотношения. Высоты CH1 и CH выделяются красным для удобства ориентирования.

3)      Затем учитель предлагает перемножить, получившиеся верные равенства и убедиться в истинности теоремы.