Урок  алгебры              

                                в 8 классе

                                  на тему

       «Решение неравенств

                      с одной переменной»

                                         Разработала:

                                         учитель математики

                                    Серебрякова Ирина Дмитриевна

Тема урока: Решение неравенств с одной переменной.

Цели урока: ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»;

                          познакомить со свойствами равносильности неравенств;

                          рассмотреть решение линейных неравенств вида  ах > b, ax < b, обращая

                          специальное внимание на случаи, когда a < 0 и a = 0;

                          научить решать неравенства с одной переменной, опираясь на свойства

                          равносильности; 

                          формировать умение работать по алгоритму; развивать логическое мышление,

                         математическую речь, память.

Тип урока:  урок изучения нового материала с применением ЭОР.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, тесты, справочный

                          материал, сигнальные карточки.

                                       Ход урока.

1.Организация начала урока.

                           Слайды 1 – 2.

  ● Тема сегодняшнего урока «Решение неравенств с одной переменной».

  ● Французская пословица гласит

        «Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днём».

  ● Чем же мы пополним сегодня наши знания? Во-первых, узнаем, что является решением неравенства, и какие неравенства считают равносильными; во-вторых, познакомимся со свойствами равносильности. Затем рассмотрим решение линейных неравенств и научимся решать неравенства с одной переменной.

2. Контроль усвоения пройденного материала.

                            Слайд 3. 

 ●У римского мимического поэта эпохи Цезаря и Августа Публия  Сира есть замечательные

       слова «Всякий день есть ученик дня вчерашнего».    

   ● Учащиеся выполняют проверочный тест по теме «Числовые промежутки».

3. Актуализация опорных знаний.

  ●По мнению Н. К. Крупской «… Математика – это цепь понятий: выпадет одно звёнышко – и не понятно будет  дальнейшее».

   ●  Проверим, насколько крепка цепь наших знаний.

                                                 Слайды 4 - 7.

  ● Для ответов на  задания используйте сигнальные карточки: «ромашку» с цифрами и знаками  >  и  <,  цветную карточку «да» и «нет»

  ● Зная, что a < b, поставьте соответствующий знак < или  >, чтобы неравенство было верным:

                а) -5а □ - 5b;          б)  5а □ 5b;      в) a – 4 □ b – 4;         г) b + 3 □ a +3.

   ● Принадлежит ли отрезку  [- 7; - 4]  число: - 10;  - 6,5;   - 4;  - 3,1?

   ● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

              а) [-1; 4];        б) (- ∞; 3);      в) (2; + ∞).

    ● Найди ошибку!

а) x ≥ 7    Ответ: (- ∞; 7);        б) y < 2,5   Ответ: (- ∞; 2,5)

                                  7                                                                                      2,5 

4. Изучение нового материала.

(Формирование новых понятий и способов действий)

                         Слайд 8. 

 ● Китайский мудрецСюньцзы сказал «В учении нельзя останавливаться».

  ● Не остановимся и мы и перейдём к изучению темы «Решение неравенств с одной переменной».  

                         Слайды 9 - 11. 

  ● Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.),     занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа .

     Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

     Однако все эти рассуждения древние учёные проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства <  и  >, употребляемые и поныне.

     Символы £ и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром.     

                         Скажите мне, какая математика без них?

                         О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

                         Неравенства такая штука – без правил не решить!

                         Я тайну всех неравенств попробую открыть.

  ● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении.

                         Слайды 12 - 13. 

  ● Рассмотрим неравенство 5х – 11 > 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 54 – 11 > 3; 9 > 3, при  х = 2 получится неравенство  52 – 11 > 3,  -1 > 3, которое не является верным.  Говорят, что число 4 является решением неравенства  5х – 11 > 3. Решениями этого неравенства являются и числа 28;  100;  180 и т. д. Таким образом:

     Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

  ● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 < 4;    б) - 4х + 5 > 3?

  ● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1 < 4? Приведите пример.

  ● Чисел, являющихся решением данного неравенства очень много, но мы должны указать все его решения.

     Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

                         Слайд 14. 

  ● Вспомните, уравнения, имеющие одни и те же корни, мы называли равносильными. Понятие равносильности вводится и для неравенств.

   Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными.

   Например, неравенства 2х – 6 > 0  и   равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х > 3. Неравенства х2 + 4 ≤ 0  и  |х| + 3 < 0 также равносильны, так как не имеют решений. Неравенства 3х – 6 ≥ 0  и  2х > 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х > 4.

  ● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности  то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы.

                         Слайд 15. 

1

            При решении неравенств используются следующие свойства:

      Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

      знаком,

2

то получится равносильное ему неравенство.

      Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное

      число, то получится равносильное ему неравенство;

      если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

      число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится

      равносильное ему неравенство.

                         Слайд 16. 

 ● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся»

 ● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств.

                         Слайды 17 - 18 . 

        Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки:                                                                                     6х – 3 > 2х + 4 + х + 5.                                       

Приведём подобные слагаемые:                                                            6х – 3 > 3х + 9.

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой - без переменной:                                                                     6х – 3х > 9 + 3.           

Приведём подобные слагаемые:                                                            3х > 12.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства:                                                    х > 4. 

         4                                                х                             Ответ: (4; + ∞)

           Пример 2. Решим неравенство   > 2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель         - > 2  6

 дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6:              2х – 3х > 12.

Приведём подобные слагаемые:                                                                         - х > 12.

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак

неравенства на противоположный:                                                                    х < - 12. 

                                                 - 12          х                                 Ответ:  (-∞;-12).

                         Слайд 19.

  ● В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах > b или ах < b, где а и b – некоторые числа:  5х ≤ 15,  3х > 12,  - х > 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

  ● В приведённых примерах коэффициент при переменной не равен нулю. Рассмотрим на конкретных примерах решения неравенств  ах > b или ах < b  при  а = 0.

     Пример 1. Неравенство 0 • х < 48 верно при любом значении х, т. к. при любом х левая часть неравенства обращается в нуль, а нуль меньше любого положительного числа.

     Пример 2. Неравенство 0 • х < - 7 неверно при любом значении х, т. е. не имеет решений, т. к. при любом х в левой части получается нуль, а нуль больше любого отрицательного числа.

   ● Таким образом, линейное неравенство вида 0 • х < b или  0 • х > b, а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число.

                         Слайд 20. 

   ● При решении неравенств мы придерживались определённого порядка, который является алгоритмом решения неравенств с одной переменной

          Алгоритм решения  неравенств первой степени с одной переменной.

1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
2. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в

правой части, при переносе меняя знаки.

1. Привести подобные слагаемые.
2. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.
3. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.