8 класс                           Тема: Графическое решение квадратных уравнений.

Цели урока:

1.   Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков, закрепить навыки построения графиков функций.

2.   Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3.   Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, карточки с заданиями.

Тип урока: урок формирования знаний.
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний (кроссворд), с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
3. Историческая справка.

4. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.
5. Закрепление изученного материала.
6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание.
9. Рефлексия.

Ход урока

I. Мотивационная беседа.

Учитель:

(слайд 1) “Математика” в переводе с греческого означает – знание, науку (в 1724 году был установлен день Российской науки, который отмечается 8 февраля). Если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому, мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои математические познания.

(слайд 2) Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.

Цель урока: познакомить вас с графическим способом решения квадратных уравнений.

II. Актуализация опорных знаний.

      (слайд 3) Напомню, что сначала мы изучали квадратный трехчлен, затем ввели квадратичную функцию, строили ее график и описывали свойства, теперь настало время поближе познакомиться с квадратным уравнением.

        III. Историческая справка.  (слайд 4) Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще около 2000 лет до н.э. в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

          Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

         Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний  того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений 

       (слайд 5)  Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

       (слайд 6) Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

           Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком Михаэлем Штифелем.

          В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

 

( слайд 7) Задание. Какие из данных уравнений являются квадратными?

а) 5х – 1 = 0;

б) х2 – 6 : х – 3 = 0;

в) х3 + 4х + 1 = 0;

г) 6: х2 +4х – 2 = 0;

д) х2 + х +3 = 0;

е) 5 – 7х2 + х = 0.

 

(Слайд 8) Для решения любых уравнений, в том числе и квадратных, есть два способа: аналитический и графический.

Аналитически решить квадратное уравнение, на сегодняшний день, можно известным нам методом разложения на множители, который включает в себя и выделение полного квадрата двучлена.

 Учитель: Решите квадратное уравнение  х2 – 2х – 3 = 0 аналитически (вызываются к доске два ученика). Предлагается  изменить условие  а) х2 – 2х + 5 = 0, то можно ли разложить на множители?

б) х2 – 1,5х – 3 = 0 удобно ли выделять полный квадрат двучлена?

(слайд 9-10) Задание для остальных: разгадать кроссворд (работа в парах или группах).

По горизонтали. 1. Независимая переменная.

2. Зависимость переменной у от х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у.

3. График линейной функции.

4.  Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

По вертикали.    5. Равенство, содержащее одну или несколько переменных.

6. График функции y = .

7. График квадратичной функции.

 

 

 

5. у

 

 

 

1. а

р

г

у

м

е

н

т

 

а

 

в

 

6. г

 

2. ф

у

н

к

ц

и

я

 

7. п

 

е

 

п

 

а

н

е

р

и

 

3. п

р

я

м

а

я

 

е

 

б

 

б

 

 

о

 

4. к

о

р

е

н

ь

л

 

л

 

а

а

 

Обсуждение решений уравнений       х2 – 2х + 5 = 0;     х2 – 1,5х – 3 = 0 приводит к другому способу решения – графическому.

( слайд 11) Вспомним алгоритм решения уравнений графическим способом.

 

1. Переписать уравнение в виде равенства, в правой и в левой частях которого стоят выражения более простого вида. Ввести функции у = f(x) и у = g(x), соответствующие левой и правой частям полученного уравнения.

2.  Построить графики этих функций в одной системе координат.

3. Отметить точки пересечения графиков функций. Количество точек пересечения дает число корней уравнения.

4. Найти абсциссы точек пересечения, которые  и есть решения данного уравнения.

5. Обратить внимание: значения корней получаются приближенными. Точность корней нужно подтвердить проверкой.(слайд 3)

 

 

 

 

IV. Изучение нового материала.

Графический способ решения квадратных уравнений основан на том же самом алгоритме. Рассмотрим различны способы на примере того же самого уравнения  х2 – 2х – 3 = 0.

(слайд 12-13)Iспособ. х2 – 2х – 3 = 0

                   у = х2 – 2х – 3 и у = 0.

                     Корни х1 = -1; х2 = 3

 

 

 

 

 

 

 

II способ.  х2 – 2х – 3 = 0

                  х2 =  2х +  3      

              у = х2   и   у = 2х +  3

              Корни: х1 = -1; х2 = 3

 

 

 

 

 

III способ. х2 – 2х – 3 = 0

                  х2 – 3 =  2х       

                 у = х2 – 3   и   у = 2х

                 Корни: х1 = -1; х2 = 3

 

 

 

IV способ.  х2 – 2х – 3 = 0

                  х2 – 2х +1 = 3+1

                  (х – 1)2 = 4        

            у = (х – 1)2   и   у = 4

            Корни: х1 = -1; х2 = 3

V способ.  х2 – 2х – 3 = 0

                  х2 – 2х = 3

                 (х2 – 2х +1) – 1 = 3

                 (х – 1)2 – 1 = 3

             у = (х – 1)2 – 1   и   у = 3

 

 

VI способ.  х2 – 2х – 3 = 0

             х (х – 2) = 3|: х, х ≠ 0

                 х – 2 = 

             у = х – 2   и   у =

            Корни: х1 = -1; х2 = 3

 

(Слайд 14)  Квадратное уравнение может иметь два корня, один корень или вообще их не иметь.

                        

 

         На практике из обилия способов выбирают тот, который больше нравится или более понятен. Графические способы решения уравнений понятны, но они не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Это нужно учитывать.

 

(Слайд 15)

 

- Возможен вариант, что корень уравнения – это дробное или иррациональное число, т.е. мы сможем найти только приближенное значение корня.

- Либо уравнение таково, что ограниченные размеры листа не позволяют построить графики х2 – 22х – 103 = 0

 

 

Физкультминутка.

Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ немного  потянуться,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.

V. Закрепление изученного материала.

п. 23 № 23.7(г)

VI. Самостоятельная работа

(слайд 16) Решить ура