Иногда введение и изучение определенного интеграла не связываются с использованием производной. Чаще до введения определенного интеграла понятие производной уже дано. Тогда авторы по-разному выбирают порядок изучения определенного интеграла и первообразной: либо раньше дается определение определенного интеграла, а первообразная появляется, когда учащиеся в достаточ­ной мере могут оценить преимущества, даваемые формулой Ньюто­на — Лейбница, либо сначала вводится понятие первообразной, а по­том определенный интеграл, причем определения его могут быть раз­ными (интеграл рассматривается как приращение первообразной или как предел интегральных сумм), но в вычислении определенного интеграла основную роль играет применение первообразной. Последний подход преобладает в пробных учебниках и учебных посо­биях для средней школы.

В учебном пособии Колмогорова порядок тот же. Такой порядок бо­лее всего соответствует школьной программе: изучение понятия первообразной функции естественным образом связывается с теми вопросами дифференциального исчисления, которые входят в школь­ную программу, а возможность применения первообразной к вычисле­нию площадей и объемов дает богатый материал для решения задач.

Эти же задачи можно решать, опираясь и на определение ин­теграла как предела интегральных сумм. Это понятие гораздо слож­нее, чем понятие первообразной; авторы большинства пособий для средней школы дают его нестрого, но и при этом определение выглядит громоздко, строгое же определение недоступно для боль­шинства учеников. Вместе с тем идея метода очень наглядна, определение допускает наглядную геометрическую интерпретацию, оно более близко по духу к тем курсам, где интеграл находит практи­ческое применение.