Тема: Решение показательных уравнений.

Теоретический материал

Определение.  Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называют показательным.

а х = b – простейшее показательное  уравнение, где а > 0, а ≠ 1

Способы решения показательных уравнений.

1.Уравнение а х = b, где а > 0, а ≠ 1, можно решить графически.

             У                  у = ах                 

       x1  - решение уравнения 

                               y =b                                                                                                       

1                                                                                                                        

                                                  х

                          х1

2. Способ уравнивания показателей, т.е. преобразование заданного уравнения к виду а f(x) = ag(x) , затем к видуf(x) = g(x)

3. Способ введения новой переменной.

4. С помощью подстановки а х = у показательное уравнение вида

     А а 2х + В а х + С = 0 сводится  к квадратному уравнению А у2+ В у + С = 0 .

Примеры:

   1) 4х = 64       2) 25-х = 1/5      3) 27 = (1/3) х      

     4х = 43                       (5-х)2  = 5-1                33 = 3-х

      х = 3                  5-2х  = 5-1             3 = - х

                                -2х = -1                х = -3

                                 х = -1/-2

                                 х = ½

4) 3 2х + 2 + 3 2х = 30

Представим 3 2х + 2 = 32х·32 и положим  3 2х = у.  Тогда данное уравнение примет вид:

9у + у = 30,    10у = 30,    у = 3;    3 2х = 3,     3 2х = 3 1 ,     2х = 1,     х = ½

Ответ: х = ½

5) 7 2х – 6 · 7х -7 = 0

Положим 7 х = у. Тогда данное уравнение примет вид:  у2 - 6у – 7 = 0,   

D = b2– 4 ac= (-6) 2– 4·1·(-7)= 36 + 28 = 64 = 82

y1,2 = -b ± √D= 6 ±√64  = 6 ± 8= 3 ± 4

               2a           2·1               2

  y1 = 3 - 4 = -1, y2 = 3 + 4 = 7

 7 х ≠ -1 ;  7 х = 7,  7 х = 7 1,  х=1

 Ответ: х = 1.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

 1) 3х = 81                         7) 36 - х = 33х -2 

 2) 8х = 16                         8) (2/3)х  · (9/8)х =27/64

3) (0,5) х = 1/64                 9) √2 х · 3 х = 36

4) 43 - х = 256                    10) (2/5)х  = (5/2)4

5) 25-1 · 5х = 25                 11) 7х+2 + 4· 7х+1= 539

6) √23 х+3 = 23                  12) 36х - 4· 6х– 12 = 0

Тест.

1.Решите уравнение:  23 - х = 16

Ответы: 1) 7;  2) -7;  3) -1;  4)1

2.Решите уравнение  9-1 · 3х = 81

Ответы: 1) 6;  2) 5;  3) 2;  4)1

3.Решите уравнение

√17х+2 = 17

Ответы: 1) 2;  2) 0;  3) -1;  4) нет ответа.

4.Укажите промежуток, содержащий корень уравнения: 42х · 45 = 4-3х

Ответы: 1)(-∞; -1];   2) (0,8;  2];  3) ( 2;  3,5);   4) [4;10)

5.Решите уравнение: (3/7)х = (1/9)х/2

Ответы: 1) -2;  2) 2;  3) ½ ;  4) 0.

Заполните таблицу.

№ задания

1

2

3

4

5

№ ответа