Областное государственное автономное

образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

 «Белгородский институт развития образования»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы решения тригонометрических уравнений

(проектное задание)

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Остапенко Татьяна Ивановна,

учитель математики и физики

МБОУ «Бехтеевская СОШ

Корочанского района

Белгородскойобласти

Руководитель курса:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель

кафедры естественно-

математического образования

 

 

 

 

 

 

Белгород

 

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                 стр.

Введение…………………………………………………………………….3

Теоретическая часть……………………………………………………....4-6

Практическая часть………………………………………………………7-18

Заключение………………………………………………………………19-20

Библиография……………………………………………………………....21

Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.

Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.

Теоретическая часть

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком триго­нометрической функции, называется тригонометрическим.

Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.                                                                                                                

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида

sin x = a,       cos x= a,        tq x = a,        ctq x = a

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.

sinx = a,   x = (-1)karcsin a + πk,  kЄZ,

arcsin a - угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, синус которого равен a.

cosx= a,  x=arccos a +2πk,  kЄZ,

arccos a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен a.

tq x = a, x = arctq a + πk,  kЄZ,

arctg a - угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, тангенс которого равен a.

ctq x = a, x = arcctq a + πk,  kЄZ,

arcctg a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен a.

Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.

Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.

Частные случаи

 

 

 

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

1.              Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

2.              Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

3.              Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

4.              Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.

5.              Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

6.              Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

7.              Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

8.              Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

 

 

Практическая часть

Методы решения тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.

1.    Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометри­ческих функций.

Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

Примеры

1)Решить уравнение 2sin2 + 3sin —2 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно sin.

Его корни: sin = , sin =—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isinl1, решения первого можно записать так:

 +2k,π+ 2k

Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя три­гонометрические тождества.

2) Решить уравнение 2sin + cos = 2.

Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то по­лучим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, ис­пользуем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:

 и .

Делая замену, получаем уравнение относительно:   .

Квадратное уравнение  имеет корни    откуда

Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:

                                                                                                  

Пусть. Тогда можно продолжить преобразование: . Получаем простей­шее   уравнение  т. е.  , откуда , или

Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.

2.      Понижение порядка уравнения.

Формулы   удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заме­нять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.

Примеры

1)Решить уравнение.

Можно заменить cos2 на 2cos2—1 и получить квадратное уравнение относительно cos, но проще заменитьна и получить линейное уравнение относительно.

2) Решить уравнение

Подставляя вместо,  их выражения через, получаем:

,

2

3.     Использование тригонометрических формул сложения и след­ствий из них.

Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.                                                                                                             

Примеры

1) Решить уравнение.

Сложим два крайних слагаемых:, откуда,. Тогда, .

2) Решить уравнение.

Преобразуем произведение синусов в сумму:,

откуда. Полученное уравнение можно ре­шить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать в произведение. Удобнее  воспользоваться  условием  равенства  косинусов двух углов  и:.

Получаем два уравнения:  .

Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:.

4.    Однородные уравнения.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).

Так как, то постоянные слагаемые можно счи­тать членами второй степени.

Пример:   .

Заменяя 4  на ,получаем:   

5.                  Переход к половинному углу

Рассмотрим этот метод на примере:

Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Решение.

6 sin( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tg² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

6.                  Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение вида:

asinx + bcosx = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

Пример.  Решить уравнение:

Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.

1.    Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.

Пример. Решите уравнение    

Решение. Раскроем скобки и преобразуем про­изведение

в сумму:                                     

Умножим обе части уравнения на. Заме­тим, что ,  не является решением данного уравнения.   . Преобразуем левую часть уравнения:

;    или тогда

 или, т.е.

Исключим из найденных серий корни вида , :

а).  Ясно, что - четное число, т.е. , а потому .

б).Tax как , то ,но тогда ,.

Ответ:

2.    Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же     тригонометрической функции.

Пример. Решите уравнение.

Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:

При6авим к обеим частям уравнения по единице.  ;

Разделим обе части уравнения на и после преобразований получим.

   

Тогда или .

Из первой серии корней области определения принадлежит только , но это серия корней содержится в серии. Нетрудно убедиться, что  входит в область определения. Например:что верно, поскольку левая часть - число четное, а правая - нечетное.

Ответ:.

3.    Тождественные преобразования одной из частей уравнения.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

                                                                                                

Откуда , тогда  или

 Легко видеть, что

Ответ:

4.     Использование свойств пропорции.

Необходимо помнить, что применение равенств

 и т. д. приводит к изменению области определения урав­нения. Так, у пропорции существует ограничение: , а у пропорции  место другое ограничение:.

Пример. Решите уравнение

Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: . Используем свойство пропорции: ;

Область определения исходного уравнения:

В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: откуда

Проверим, удовлетворяют ли исходному уравне­нию значения

а) -верное равенство,

 - решение исходного уравнения.    

б) верное равенство.

в)-1  -1 - верное равенство, Ответ:

5.     Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограничен­ность функций,  и. Покажем это на конкретных примерах.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Так как , то ,, откуда и возможные корни данного уравнения  Подставив эти значения в левую часть уравне­ния, получим а последнее равенство возможно только при .

Следовательно, - решение дан­ного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Легко видеть, что и . Следовательно, , но тогда , , откуда , — возможные корни данного

уравнения. Подстановка  в данное урав­нение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.

Ответ:.

6.    Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени

Пример 1.

 

При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.

Ответ:

Пример 2.

Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:

Ответ:

Уравнения повышенной сложности

1.    (Сканави М.И.8.022)

 2sin3 x +2sin2x cos x – sin x cos2x – cos3x = 0 | : cos3x ≠ 0;

т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени

 2tg3x + 2tg2x – tgx – 1 = 0;

Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим

 (tg x + 1)(2tg2x – 1) = 0;

   tgx = -1                              х= -  + n , n ͼ Z

   tgx=  ;                          х= arctg + k, k ͼ Z.

Ответ: -  + n , n ͼ Z ;arctg + k, k ͼ Z.

2.    ( СканавиМ.И.8.081)

6sin2x + sin x cos x – cos2x = 2;

 4sin2x + sin x cos x – 3 cos2x = 0; | : cos2x ≠ 0;

т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени

 4tg2x + tg x – 3 = 0;

   tgx = -1,                           х= -  + n , n ͼ Z

   tgx=  ;                             х= arctg  + k, k ͼ Z.

Ответ:  -  + n , n ͼ Z;

              arctg  + k, k ͼ Z.

3.    ( Сканави М.И. 8.076)

sinx – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;

сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим

2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;

вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов

2sin 3x ∙ 2 cos  cos  = 0;

   sin 3x = 0,                  x = , n ͼ Z

   cos  = 0,                  x =  +  , k ͼ Z

   cos  = 0;                  x = + , m ͼ Z.

Произведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью

                                                                                   Ответ:    , nͼZ;

                                                                                  +  , kͼZ { 7m+3| mͼZ }.

 

 

 

4.     ( Сканави  М.И. 8.076)

 = 2;

воспользуемся формулой косинуса двойного угла

 = 2;

sin = 1,

sin  ≠ 0;

sin  = 1;

х= + 4, kͼZ.

Ответ: + 4, kͼZ.

5.    (Сканави М.И.  8.120)

 +  -  -  =0

;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла

1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;

сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов

2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;

2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;

произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю

     cos 2x=0                 2x= + , n ͼ Z

    cos 3,5x=0               3,5x= + , m ͼ Z

    cos 2,5x=0;              2,5x= + , k ͼ Z;

x= +, n ͼ Z

x= +, m ͼ Z

x= +, k ͼ Z .

Ответ: +, nͼZ;

             +, mͼZ;

             +, kͼZ .

Заключение.

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.

Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений.  Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.

Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.

Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.

                                                    Библиография

1.    Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. - №2. –с. 40 – 42.

2.    Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике».   М., «Наука», 1982 г.

3.    Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.

4.    Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» - М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.

5.              Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.

6.    Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения»,    Армавир, 2005г.

7.              Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

8.              Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. - М.: Новая школа, 1993.