Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

В специальных сборниках задач, а также в вариантах выпускных и вступительных экзаменов все чаще стали встречаться задачи с параметрами, связанные с границами корней квадратного уравнения.

По данному вопросу имеется различная информация в источниках, предназначенных, в основном, для подготовки к вступительным экзаменам. Но в новейших источниках, как правило, преобладает слишком громоздкая геометрическая интерпретация рассуждений. Конечно, в этих источниках с большой наглядностью перебираются все варианты ситуаций ,по которым составляются нужные системы неравенств. Но во многих случаях сложно продумать необходимое и достаточное количество этих неравенств.

Порой бывает трудно быть уверенным в рациональности подобных условий. А решающий к тому же бывает ограниченным во времени.

Конечно, наиболее эффективным условием является знание трех теорем, которые можно найти в более ранних источниках, например, у П.С. Моденова в книге "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики", в книге С.И Новосепова "Специальный курс элементарной математики"(Изд-во "Советская наука", 1956г)

Замечание. При формулировке теорем будем считать, что квадратное уравнение имеет корни, то есть D>0