Министерство образования и науки Самарской области

 

ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ колледж»

 

 

 

                                                      Н.Е.Афонина

А.В.Киселёва

М.А.Памурзина

 

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

 

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 

МАТЕМАТИКА

 

«общеобразовательный цикл»

 

 

Часть 2.

 

 

«общеобразовательный цикл»

 

 

(социально-экономический  гуманитарный, технический профили)

 

            ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

Самара, 2012

 Уважаемый студент!

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) «МАТЕМАТИКА» предназначен для того, чтобы сделать Вашу работу по освоению новой области знаний оптимально удобной и максимально понятной. УМКД облегчит Вам  работу как на учебных занятиях (теоретических и практических), так и при выполнении самостоятельных работ.

УМК  состоит из 2 частей. 1 часть содержит  разделы

« Геометрия» и « Теория вероятностей и математическая статистика», 2 часть содержит  разделы «Алгебра» и «Начала математического анализа» В УМКД всё содержание дисциплины «МатематикаВ УМКД всё содержание дисциплины «Математика» разбито на смысловые блоки (разделы), которые, в свою очередь, разделяются на темы. Их последовательное изучение сформирует у Вас целостное восприятие изучаемого предмета. Структура каждой темы построена следующим образом:

• Основные понятия и термины по теме (определения даются в глоссарии) – Их нужно знать!
• План изучения темы (вопросы, необходимые для изучения).
• Краткое изложение теоретических вопросов. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Данный материал также будет Вам полезен при подготовке к точкам рубежного контроля и практическим работам.
• Задания для самостоятельного выполнения во внеурочное время (оформляются в виде сообщений, докладов, презентаций, эссе, таблиц, глоссариев и т.п.).
• Вопросы для самоконтроля по теме (ориентированы на вопросы точек рубежного и  итогового контроля по дисциплине).

После каждого тематического раздела дается перечень умений, которыми должен овладеть студент после изучения тем данного информационного блока.  Это «момент истины»! Прочитав перечень умений, Вы должны объективно оценить степень вашей практической подготовки по данному разделу. Если какое – либо  из требуемых умений Вами не освоено, необходимо обратиться за помощью к преподавателю* или попытаться ещё раз самостоятельно с помощью данного УМКД пройти весь образовательный маршрут по проблемному разделу.

Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы (см. Информационное обеспечение дисциплины), получить в библиотеке рекомендованные учебники и учебно-методические пособия, завести новую тетрадь для конспектирования лекций и работы с первоисточниками. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.

В результате освоения 2 части  дисциплины Вы должны уметь:

·              выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

·              находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

·              выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

 

               использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·              для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

 

·              вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

·              определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

·              строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

·              использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

 

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·              для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

 

·              находить производные элементарных функций;

·              использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

·              применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

·              вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

 

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·              решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

 

·              решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

·              использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

·              изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

·              составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

 

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·              для построения и исследования простейших математических моделей.

 

В результате освоения 2 части  дисциплины вы должны знать:

 

·              значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

·              значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

·              универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности.

 В результате освоения дисциплины у Вас должны формиро ваться общие компетенции (ОК):

 

 

 

 

 

 

Общие компетенции (ОК)

Результат освоения

ОК1.Планирование деятельности

 

·       Планирует деятельность в рамках заданных логарифмов

ОК 2. Планирование

ресурсов

·       Анализирует потребности в ресурсах  и планирует ресурсы в соответствии с заданным способом решения задачи

ОК 3. Анализ рабочей ситуации

 

·       Самостоятельно задаёт критерии  для анализа решения задачи на основе заданного алгоритма

ОК 4. Текущий контроль и коррекция деятельности

·       Планирует контроль своей деятельности в соответствии с заданным алгоритмом и определённым результатом

ОК 5. Оценка  результатов деятельности

·       Планирует результат на основе  заданных критериев оценки

ОК 6. Оценка  собственного продвижения.

 

·       Указывает причины успеха и  неудач в решении задач по математике.

 

Освоение 2 части  дисциплины требует обязательного выполнения студентами 7-ти точек рубежного контроля работ. Итоговая аттестация проводится в виде экзамена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

 

Таблица 1

Формы отчетности, обязательные для сдачи

 

Количество

Точки рубежного контроля

2

Итоговая аттестация

Экзамен

 

 

Желаем Вам удачи!

 

 

Раздел 3.Алгебра.

 

Тема 3.1. Развитие понятия о числе.

Основные понятия и термины по теме: действительные числа, комплексные числа, действительная часть и мнимая часть  комплексного числа, сопряженные комплексные числа, модуль, аргумент комплексного числа.

План изучения темы:

1. Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2. Приближенные вычисления. Погрешности приближения. Действия над приближёнными числами.

3. Комплексные числа и действия над комплексными числами.

 

Краткое изложение теоретических вопросов:

 

1. Целые и рациональные числа. Действительные числа.

Число — это важнейшее математическое понятие. Натуральные числа  возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел: 1,  2,  3,  4,  5, … является бесконечным и называется натуральным рядом. Множество натуральных чисел обозначается N.

Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных.

Целые числа - это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:

 ... , –3,  –2,  –1,  0,  1,  2,  3, ... Множество целых  чисел обозначается Z.

Появление дробных (положительных рациональных) чисел было связано с необходимостью производить измерения, т. е. процедуру, в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона (единицы измерения).

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль.

Множество рациональных чисел (лат.  ratio  — отношение, деление, дробь) это числа, представленные обыкновенной дробью m/n , где m — целое число, а n — натуральное число. Множество рациональных чисел составляют целые числа, конечные и периодические десятичные дроби (положительные и им противоположные, которые называются отрицательными дробями)   Множество рациональных чисел обозначается Q.

Иррациональные числа.. Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне. Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

Действительные числа. Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел.

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу.

Арифметические операции над действительными числами

обладают следующими свойствами (основные законы алгебры).

1.     a + b = b + a (переместительный закон сложения).

2.     (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).

3.     a + 0 = a (свойство нуля).

4.     a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).

5.     ab = ba (переместительный закон умножения).

6.     ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).

7.     a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

8.     a · 1 = a (основное свойство единицы).

9.      (существование обратного числа).

 

Задания для самостоятельного выполнения:

 1. Подготовка рефератов по темам: «Развитие понятия о числе», «История возникновения чисел»

 

Форма контроля самостоятельной работы:

-       Устный опрос.

-       Проверка рефератов.

 

   Вопросы для самоконтроля по теме:

 

1. Дайте определение натурального, целого, рационального,

иррационального, действительного числа.

2.Перечислите свойства действительных чисел.

 

2. Приближенные вычисления. Погрешности приближения. Действия над приближёнными числами.

 

Абсолютной погрешностью называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 — 1284=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение  абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно,

 3/197 = 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г.
Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или oтносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то δ = Δ/a.
Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим

 δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.
Пример1.  Найдите абсолютную  погрешность округления  до  единиц  чисел:

0,8 = 0,2

 

Пример 2. Укажите  верные  цифры (в  широком  смысле)  числа  3,73.

 

Решение.

Граница погрешности =0,056  не превосходит  единицы разряда  десятых (неравенство

0,056 верное). Следовательно, верными  являются  цифры 3 и7.

 

Пример 3.За приближённое  значение числа  26,7  взято  число 27.

Являются  ли  цифры  числа 27 верными?

 

Решение.

Т.к. , то цифры 2и 7 – верные в широком смысле.

Пример 4. Найдите сумму  приближённых значений  чисел  6,8 ;   4,30, 05; 3,5750,0005

 

Решение.

Имеем   S =  6,8 + 4,3+3,575  = 14,675,    =  0,05+0,05+0,0005=0,1005.

Граница  абсолютной  погрешности  заключена  в пределах .

В приближённом значении суммы  являются  лишь две цифры

( в разрядах  десятков и единиц) Полученный результат  округлим до единиц:S = 14,675

 

Пример5. Найти  верные цифры произведения  приближённых значений