Тема урока: Формула суммы первых n-членов арифметических прогрессий.             9 класс

 Цель урока:

1. Научить учеников формулам суммы первых n-членов арифметической прогрессий и применению их при решении задач.

 2. Ознакомить с историческими данными о прогрессиях.

 Уметь находить суммы первых n-членов арифметической прогрессий и использовать в последующих темах.

 Образовательные: Систематизация и углубление знаний и навыков, закрепление и обобщение данной темы.

 Развивающие: Развитие и активизация познавательной деятельности, внимания, интереса к теме, памяти.

 Воспитательные: Воспитание у учащихся чувства ответственности, культуры современного труда, простоты, четкости мышления.

Коррекционная: Учить применять формулы при выполнении задания.

План урока

 I.  Организационный момент

 II. Проверка домашнего задания

 III. Сообщение темы урока

 IV. Новая тема

 V. Краткое ознакомление с историческими данными

 VI. Закрепление новой темы

 VII. Домашнее задание

 VIII. Итог урока, оценка знаний учащихся.

Ход урока

 I. Организационный момент.

 Приветствие с классом, отметить отсутствующих.

 Подготовка учащихся к уроку. Сосредоточить мысли к начинающему уроку.

 II. Проверка домашнего задания

III-IV . Сообщение темы урока. Повторение формулы n-го члена арифметической прогрессии

 d – разность арифметической прогрессии

 n – число членов арифметической прогрессии

 a1 – первый член

 an – n-ый член

 А теперь нам надо вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn, Sn= a1+a2+a3+…+an , а теперь напишем в обратном порядке, затем почленно складывая, получим.

 Арифметическая прогрессия

 Sn= a1+a2+…an-1+an

 Sn= an+an-1+…a2+a1

 2Sn=(a1+a2)+(a2+an-1)+…(a2+an-1)+(a1+an)

 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)+ (a1+an)

 n-двучленов

 2Sn=n•(a1+an)    (I)

 an =a1+(n-1) d    (II)

 Эти формулы позволяют легко найти число членов прогрессии по данным a1, d, Sn.

Теорема:

 Сумма первых n-членов арифметической прогрессий равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

V.  С этой связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

 Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно. 1+2+3+…+40

 Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

 Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820

 1, 2, 3, … 20

 +

 40, 39, 38,…41

 41, 41, 41,…41

 Рассмотрим примеры на использование полученных формул.

 VI.  1) Найдем сумму первых 20 членов арифметической прогрессии:

 1, 3, 5,… а1=1 а2=3,5

 Решение: Первый член прогрессии равен 1. а1=1

 an=a1+(n-1)d 1) разность равна а2-а1=3,5-1=2,5

 d=2,5

 2) Найдем 20-член этой прогрессии:

 а20= 1+2,5(20-1) = 1+2,5*19= 48,5

 Ответ: 495.

 №

 I – в II – в

 a1 =10 a1=10 d=4; an=14

 d=4

 an=50

 Найдите n и Sn.

 Решение

 I в. II в.

 аn = a1+(n-1) d

 50=10+(n-1)*4

 50=10+4n-4

 50-10+4=4n

 44=4n

 n=11

 a11=a1+10d=10+40=50

 a11=50

 S11=330; a1=10 d=4 an=14

 14=10+(n-1)*4

 14=10+4n-4

 14-10+4=4n

 8=4n n=2

 a2=a1+d=10+4=14

 S2=24

 Закрепление:

  Дана арифметическая прогрессия 2, 5,8, ...

 Найдите 15-й член и сумму 15-ти членов прогрессии

 n=15 a1=2 a2=5 d=a2-a1=5-2=3 d=3

 a15=a1+14d=2+14*3=44

 Ответ: 44, 345.

 VII. Домашнее задание 

 VIII. Подведем итог урока.

 Оценка знаний учащихся.

 Спасибо дети за урок, до свидания.